Leysa {c}{3/2a+b=1}{a+b/2=7}

$$\left. \begin{array} { c } { \frac { 3 } { 2 } a + b = 1 } \\ { a + \frac { b } { 2 } = 7 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir a, b

$$a=26$$

$$b=-38$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$\frac{3}{2}a+b=1,a+\frac{1}{2}b=7$$

Veldu eina jöfnuna og leystu a með því að einangra a vinstra megin við samasemmerkið.

$$\frac{3}{2}a+b=1$$

Dragðu b frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{3}{2}a=-b+1$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{3}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$a=\frac{2}{3}\left(-b+1\right)$$

Margfaldaðu \frac{2}{3} sinnum -b+1.

$$a=-\frac{2}{3}b+\frac{2}{3}$$

Settu \frac{-2b+2}{3} inn fyrir a í hinni jöfnunni, a+\frac{1}{2}b=7.

$$-\frac{2}{3}b+\frac{2}{3}+\frac{1}{2}b=7$$

Leggðu -\frac{2b}{3} saman við \frac{b}{2}.

$$-\frac{1}{6}b+\frac{2}{3}=7$$

Dragðu \frac{2}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{1}{6}b=\frac{19}{3}$$

Margfaldaðu báðar hliðar með -6.

$$b=-38$$

Skiptu -38 út fyrir b í a=-\frac{2}{3}b+\frac{2}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst a strax.

$$a=-\frac{2}{3}\left(-38\right)+\frac{2}{3}$$

Margfaldaðu -\frac{2}{3} sinnum -38.

$$a=\frac{76+2}{3}$$

Leggðu \frac{2}{3} saman við \frac{76}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$a=26$$

Leyst var úr kerfinu.

$$a=26,b=-38$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$\frac{3}{2}a+b=1,a+\frac{1}{2}b=7$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfan \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}-1}&-\frac{1}{\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}-1}\\-\frac{1}{\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}-1}&\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&4\\4&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2+4\times 7\\4-6\times 7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}26\\-38\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna a og b.

$$a=26,b=-38$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$\frac{3}{2}a+b=1,a+\frac{1}{2}b=7$$

Til að gera \frac{3a}{2} og a jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með \frac{3}{2}.

$$\frac{3}{2}a+b=1,\frac{3}{2}a+\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}b=\frac{3}{2}\times 7$$

Einfaldaðu.

$$\frac{3}{2}a+b=1,\frac{3}{2}a+\frac{3}{4}b=\frac{21}{2}$$

Dragðu \frac{3}{2}a+\frac{3}{4}b=\frac{21}{2} frá \frac{3}{2}a+b=1 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$\frac{3}{2}a-\frac{3}{2}a+b-\frac{3}{4}b=1-\frac{21}{2}$$

Leggðu \frac{3a}{2} saman við -\frac{3a}{2}. Liðirnir \frac{3a}{2} og -\frac{3a}{2} núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$b-\frac{3}{4}b=1-\frac{21}{2}$$

Leggðu b saman við -\frac{3b}{4}.

$$\frac{1}{4}b=1-\frac{21}{2}$$

Leggðu 1 saman við -\frac{21}{2}.

$$\frac{1}{4}b=-\frac{19}{2}$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 4.

$$b=-38$$

Skiptu -38 út fyrir b í a+\frac{1}{2}b=7. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst a strax.

$$a+\frac{1}{2}\left(-38\right)=7$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -38.

$$a-19=7$$

Leggðu 19 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$a=26$$

Leyst var úr kerfinu.

$$a=26,b=-38$$