Leysa {c}{1/2a+b=-2}{a-2b=8}

$$\left. \begin{array} { c } { \frac { 1 } { 2 } a + b = - 2 } \\ { a - 2 b = 8 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir a, b

$$a=2$$

$$b=-3$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$\frac{1}{2}a+b=-2,a-2b=8$$

Veldu eina jöfnuna og leystu a með því að einangra a vinstra megin við samasemmerkið.

$$\frac{1}{2}a+b=-2$$

Dragðu b frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{1}{2}a=-b-2$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 2.

$$a=2\left(-b-2\right)$$

Margfaldaðu 2 sinnum -b-2.

$$a=-2b-4$$

Settu -2b-4 inn fyrir a í hinni jöfnunni, a-2b=8.

$$-2b-4-2b=8$$

Leggðu -2b saman við -2b.

$$-4b-4=8$$

Leggðu 4 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-4b=12$$

Deildu báðum hliðum með -4.

$$b=-3$$

Skiptu -3 út fyrir b í a=-2b-4. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst a strax.

$$a=-2\left(-3\right)-4$$

Margfaldaðu -2 sinnum -3.

$$a=6-4$$

Leggðu -4 saman við 6.

$$a=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$a=2,b=-3$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$\frac{1}{2}a+b=-2,a-2b=8$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{\frac{1}{2}\left(-2\right)-1}&-\frac{1}{\frac{1}{2}\left(-2\right)-1}\\-\frac{1}{\frac{1}{2}\left(-2\right)-1}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\left(-2\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2+\frac{1}{2}\times 8\\\frac{1}{2}\left(-2\right)-\frac{1}{4}\times 8\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna a og b.

$$a=2,b=-3$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$\frac{1}{2}a+b=-2,a-2b=8$$

Til að gera \frac{a}{2} og a jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með \frac{1}{2}.

$$\frac{1}{2}a+b=-2,\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}\left(-2\right)b=\frac{1}{2}\times 8$$

Einfaldaðu.

$$\frac{1}{2}a+b=-2,\frac{1}{2}a-b=4$$

Dragðu \frac{1}{2}a-b=4 frá \frac{1}{2}a+b=-2 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}a+b+b=-2-4$$

Leggðu \frac{a}{2} saman við -\frac{a}{2}. Liðirnir \frac{a}{2} og -\frac{a}{2} núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$b+b=-2-4$$

Leggðu b saman við b.

$$2b=-2-4$$

Leggðu -2 saman við -4.

$$2b=-6$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$b=-3$$

Skiptu -3 út fyrir b í a-2b=8. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst a strax.

$$a-2\left(-3\right)=8$$

Margfaldaðu -2 sinnum -3.

$$a+6=8$$

Dragðu 6 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$a=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$a=2,b=-3$$