Leysa {c}{1/10x+1/2y=1}{2x-10y=-20}

$$\left. \begin{array} { c } { \frac { 1 } { 10 } x + \frac { 1 } { 2 } y = 1 } \\ { 2 x - 10 y = - 20 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=0$$

$$y=2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$\frac{1}{10}x+\frac{1}{2}y=1,2x-10y=-20$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$\frac{1}{10}x+\frac{1}{2}y=1$$

Dragðu \frac{y}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{1}{10}x=-\frac{1}{2}y+1$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 10.

$$x=10\left(-\frac{1}{2}y+1\right)$$

Margfaldaðu 10 sinnum -\frac{y}{2}+1.

$$x=-5y+10$$

Settu -5y+10 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x-10y=-20.

$$2\left(-5y+10\right)-10y=-20$$

Margfaldaðu 2 sinnum -5y+10.

$$-10y+20-10y=-20$$

Leggðu -10y saman við -10y.

$$-20y+20=-20$$

Dragðu 20 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-20y=-40$$

Deildu báðum hliðum með -20.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í x=-5y+10. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-5\times 2+10$$

Margfaldaðu -5 sinnum 2.

$$x=-10+10$$

Leggðu 10 saman við -10.

$$x=0$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=0,y=2$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$\frac{1}{10}x+\frac{1}{2}y=1,2x-10y=-20$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{2}\\2&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-20\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{2}\\2&-10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{2}\\2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{2}\\2&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{2}\\2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-20\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{2}\\2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-20\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{2}\\2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-20\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{\frac{1}{10}\left(-10\right)-\frac{1}{2}\times 2}&-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{10}\left(-10\right)-\frac{1}{2}\times 2}\\-\frac{2}{\frac{1}{10}\left(-10\right)-\frac{1}{2}\times 2}&\frac{\frac{1}{10}}{\frac{1}{10}\left(-10\right)-\frac{1}{2}\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-20\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&\frac{1}{4}\\1&-\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-20\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5+\frac{1}{4}\left(-20\right)\\1-\frac{1}{20}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=0,y=2$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$\frac{1}{10}x+\frac{1}{2}y=1,2x-10y=-20$$

Til að gera \frac{x}{10} og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með \frac{1}{10}.

$$2\times \frac{1}{10}x+2\times \frac{1}{2}y=2,\frac{1}{10}\times 2x+\frac{1}{10}\left(-10\right)y=\frac{1}{10}\left(-20\right)$$

Einfaldaðu.

$$\frac{1}{5}x+y=2,\frac{1}{5}x-y=-2$$

Dragðu \frac{1}{5}x-y=-2 frá \frac{1}{5}x+y=2 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$\frac{1}{5}x-\frac{1}{5}x+y+y=2+2$$

Leggðu \frac{x}{5} saman við -\frac{x}{5}. Liðirnir \frac{x}{5} og -\frac{x}{5} núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$y+y=2+2$$

Leggðu y saman við y.

$$2y=2+2$$

Leggðu 2 saman við 2.

$$2y=4$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í 2x-10y=-20. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x-10\times 2=-20$$

Margfaldaðu -10 sinnum 2.

$$2x-20=-20$$

Leggðu 20 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=0$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=0$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=0,y=2$$