Leysa {l}{6x-y=-23}{-8x-4y=4}

$$\left\{ \begin{array}{l}{ 6 x - y = - 23 }\\{ - 8 x - 4 y = 4 }\end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-3$$

$$y=5$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$6x-y=-23,-8x-4y=4$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$6x-y=-23$$

Leggðu y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$6x=y-23$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(y-23\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{6} sinnum y-23.

$$x=\frac{1}{6}y-\frac{23}{6}$$

Settu \frac{-23+y}{6} inn fyrir x í hinni jöfnunni, -8x-4y=4.

$$-8\left(\frac{1}{6}y-\frac{23}{6}\right)-4y=4$$

Margfaldaðu -8 sinnum \frac{-23+y}{6}.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{92}{3}-4y=4$$

Leggðu -\frac{4y}{3} saman við -4y.

$$-\frac{16}{3}y+\frac{92}{3}=4$$

Dragðu \frac{92}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{16}{3}y=-\frac{80}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{16}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=5$$

Skiptu 5 út fyrir y í x=\frac{1}{6}y-\frac{23}{6}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{1}{6}\times 5-\frac{23}{6}$$

Margfaldaðu \frac{1}{6} sinnum 5.

$$x=\frac{5-23}{6}$$

Leggðu -\frac{23}{6} saman við \frac{5}{6} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-3,y=5$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$6x-y=-23,-8x-4y=4$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}6&-1\\-8&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-23\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}6&-1\\-8&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-1\\-8&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-1\\-8&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-1\\-8&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-23\\4\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-1\\-8&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-23\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-1\\-8&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-23\\4\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{6\left(-4\right)-\left(-\left(-8\right)\right)}&-\frac{-1}{6\left(-4\right)-\left(-\left(-8\right)\right)}\\-\frac{-8}{6\left(-4\right)-\left(-\left(-8\right)\right)}&\frac{6}{6\left(-4\right)-\left(-\left(-8\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-23\\4\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&-\frac{1}{32}\\-\frac{1}{4}&-\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-23\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\left(-23\right)-\frac{1}{32}\times 4\\-\frac{1}{4}\left(-23\right)-\frac{3}{16}\times 4\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-3,y=5$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$6x-y=-23,-8x-4y=4$$

Til að gera 6x og -8x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -8 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 6.

$$-8\times 6x-8\left(-1\right)y=-8\left(-23\right),6\left(-8\right)x+6\left(-4\right)y=6\times 4$$

Einfaldaðu.

$$-48x+8y=184,-48x-24y=24$$

Dragðu -48x-24y=24 frá -48x+8y=184 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-48x+48x+8y+24y=184-24$$

Leggðu -48x saman við 48x. Liðirnir -48x og 48x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$8y+24y=184-24$$

Leggðu 8y saman við 24y.

$$32y=184-24$$

Leggðu 184 saman við -24.

$$32y=160$$

Deildu báðum hliðum með 32.

$$y=5$$

Skiptu 5 út fyrir y í -8x-4y=4. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-8x-4\times 5=4$$

Margfaldaðu -4 sinnum 5.

$$-8x-20=4$$

Leggðu 20 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-8x=24$$

Deildu báðum hliðum með -8.

$$x=-3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-3,y=5$$