Leysa {l}{-7x-7y=14}{x+5y=-18}

$$\left\{ \begin{array}{l}{ - 7 x - 7 y = 14 }\\{ x + 5 y = - 18 }\end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=2$$

$$y=-4$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-7x-7y=14,x+5y=-18$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-7x-7y=14$$

Leggðu 7y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-7x=7y+14$$

Deildu báðum hliðum með -7.

$$x=-\frac{1}{7}\left(7y+14\right)$$

Margfaldaðu -\frac{1}{7} sinnum 14+7y.

$$x=-y-2$$

Settu -y-2 inn fyrir x í hinni jöfnunni, x+5y=-18.

$$-y-2+5y=-18$$

Leggðu -y saman við 5y.

$$4y-2=-18$$

Leggðu 2 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$4y=-16$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$y=-4$$

Skiptu -4 út fyrir y í x=-y-2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\left(-4\right)-2$$

Margfaldaðu -1 sinnum -4.

$$x=4-2$$

Leggðu -2 saman við 4.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=-4$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-7x-7y=14,x+5y=-18$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-7&-7\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-18\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-7&-7\\1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&-7\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&-7\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-7\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-18\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-7\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-18\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-7\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-18\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-7\times 5-\left(-7\right)}&-\frac{-7}{-7\times 5-\left(-7\right)}\\-\frac{1}{-7\times 5-\left(-7\right)}&-\frac{7}{-7\times 5-\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-18\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{28}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{28}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-18\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{28}\times 14-\frac{1}{4}\left(-18\right)\\\frac{1}{28}\times 14+\frac{1}{4}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=2,y=-4$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-7x-7y=14,x+5y=-18$$

Til að gera -7x og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -7.

$$-7x-7y=14,-7x-7\times 5y=-7\left(-18\right)$$

Einfaldaðu.

$$-7x-7y=14,-7x-35y=126$$

Dragðu -7x-35y=126 frá -7x-7y=14 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-7x+7x-7y+35y=14-126$$

Leggðu -7x saman við 7x. Liðirnir -7x og 7x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-7y+35y=14-126$$

Leggðu -7y saman við 35y.

$$28y=14-126$$

Leggðu 14 saman við -126.

$$28y=-112$$

Deildu báðum hliðum með 28.

$$y=-4$$

Skiptu -4 út fyrir y í x+5y=-18. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x+5\left(-4\right)=-18$$

Margfaldaðu 5 sinnum -4.

$$x-20=-18$$

Leggðu 20 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=-4$$