Leysa {l}{-4x+5y=-46}{5x-4y=44}

$$\left\{ \begin{array}{l}{ - 4 x + 5 y = - 46 }\\{ 5 x - 4 y = 44 }\end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=4$$

$$y=-6$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-4x+5y=-46,5x-4y=44$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-4x+5y=-46$$

Dragðu 5y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-4x=-5y-46$$

Deildu báðum hliðum með -4.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-5y-46\right)$$

Margfaldaðu -\frac{1}{4} sinnum -5y-46.

$$x=\frac{5}{4}y+\frac{23}{2}$$

Settu \frac{5y}{4}+\frac{23}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 5x-4y=44.

$$5\left(\frac{5}{4}y+\frac{23}{2}\right)-4y=44$$

Margfaldaðu 5 sinnum \frac{5y}{4}+\frac{23}{2}.

$$\frac{25}{4}y+\frac{115}{2}-4y=44$$

Leggðu \frac{25y}{4} saman við -4y.

$$\frac{9}{4}y+\frac{115}{2}=44$$

Dragðu \frac{115}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{9}{4}y=-\frac{27}{2}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{9}{4}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-6$$

Skiptu -6 út fyrir y í x=\frac{5}{4}y+\frac{23}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{5}{4}\left(-6\right)+\frac{23}{2}$$

Margfaldaðu \frac{5}{4} sinnum -6.

$$x=\frac{-15+23}{2}$$

Leggðu \frac{23}{2} saman við -\frac{15}{2} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=4,y=-6$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-4x+5y=-46,5x-4y=44$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-4&5\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-46\\44\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-4&5\\5&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&5\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&5\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&5\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-46\\44\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&5\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-46\\44\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&5\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-46\\44\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4\left(-4\right)-5\times 5}&-\frac{5}{-4\left(-4\right)-5\times 5}\\-\frac{5}{-4\left(-4\right)-5\times 5}&-\frac{4}{-4\left(-4\right)-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-46\\44\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9}&\frac{5}{9}\\\frac{5}{9}&\frac{4}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-46\\44\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9}\left(-46\right)+\frac{5}{9}\times 44\\\frac{5}{9}\left(-46\right)+\frac{4}{9}\times 44\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=4,y=-6$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-4x+5y=-46,5x-4y=44$$

Til að gera -4x og 5x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 5 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -4.

$$5\left(-4\right)x+5\times 5y=5\left(-46\right),-4\times 5x-4\left(-4\right)y=-4\times 44$$

Einfaldaðu.

$$-20x+25y=-230,-20x+16y=-176$$

Dragðu -20x+16y=-176 frá -20x+25y=-230 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-20x+20x+25y-16y=-230+176$$

Leggðu -20x saman við 20x. Liðirnir -20x og 20x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$25y-16y=-230+176$$

Leggðu 25y saman við -16y.

$$9y=-230+176$$

Leggðu -230 saman við 176.

$$9y=-54$$

Deildu báðum hliðum með 9.

$$y=-6$$

Skiptu -6 út fyrir y í 5x-4y=44. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$5x-4\left(-6\right)=44$$

Margfaldaðu -4 sinnum -6.

$$5x+24=44$$

Dragðu 24 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5x=20$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=4,y=-6$$