Leysa {l}{x/3+y/4=5/6}{3x+20y/5-frac{8y+1}{3}=frac{12x+16y}{15}}

$$\left\{ \begin{array}{l}{ \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 4 } = \frac { 5 } { 6 } }\\{ \frac { 3 x + 20 y } { 5 } - \frac { 8 y + 1 } { 3 } = \frac { 12 x + 16 y } { 15 } }\end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 12, minnsta sameiginlega margfeldi 3,4,6.

$$4x+3y=10$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 15, minnsta sameiginlega margfeldi 5,3,15.

$$3\left(3x+20y\right)-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 3 með 3x+20y.

$$9x+60y-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda -5 með 8y+1.

$$9x+60y-40y-5=12x+16y$$

Sameinaðu 60y og -40y til að fá 20y.

$$9x+20y-5=12x+16y$$

Dragðu 12x frá báðum hliðum.

$$9x+20y-5-12x=16y$$

Sameinaðu 9x og -12x til að fá -3x.

$$-3x+20y-5=16y$$

Dragðu 16y frá báðum hliðum.

$$-3x+20y-5-16y=0$$

Sameinaðu 20y og -16y til að fá 4y.

$$-3x+4y-5=0$$

Bættu 5 við báðar hliðar. Allt sem er lagt saman við núll skilar sjálfu sér.

$$-3x+4y=5$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$4x+3y=10,-3x+4y=5$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$4x+3y=10$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4x=-3y+10$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+10\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{4} sinnum -3y+10.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}$$

Settu -\frac{3y}{4}+\frac{5}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, -3x+4y=5.

$$-3\left(-\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}\right)+4y=5$$

Margfaldaðu -3 sinnum -\frac{3y}{4}+\frac{5}{2}.

$$\frac{9}{4}y-\frac{15}{2}+4y=5$$

Leggðu \frac{9y}{4} saman við 4y.

$$\frac{25}{4}y-\frac{15}{2}=5$$

Leggðu \frac{15}{2} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{25}{4}y=\frac{25}{2}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{25}{4}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í x=-\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{3}{4}\times 2+\frac{5}{2}$$

Margfaldaðu -\frac{3}{4} sinnum 2.

$$x=\frac{-3+5}{2}$$

Leggðu \frac{5}{2} saman við -\frac{3}{2} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=2$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 12, minnsta sameiginlega margfeldi 3,4,6.

$$4x+3y=10$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 15, minnsta sameiginlega margfeldi 5,3,15.

$$3\left(3x+20y\right)-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 3 með 3x+20y.

$$9x+60y-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda -5 með 8y+1.

$$9x+60y-40y-5=12x+16y$$

Sameinaðu 60y og -40y til að fá 20y.

$$9x+20y-5=12x+16y$$

Dragðu 12x frá báðum hliðum.

$$9x+20y-5-12x=16y$$

Sameinaðu 9x og -12x til að fá -3x.

$$-3x+20y-5=16y$$

Dragðu 16y frá báðum hliðum.

$$-3x+20y-5-16y=0$$

Sameinaðu 20y og -16y til að fá 4y.

$$-3x+4y-5=0$$

Bættu 5 við báðar hliðar. Allt sem er lagt saman við núll skilar sjálfu sér.

$$-3x+4y=5$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$4x+3y=10,-3x+4y=5$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4\times 4-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{4\times 4-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{4\times 4-3\left(-3\right)}&\frac{4}{4\times 4-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&-\frac{3}{25}\\\frac{3}{25}&\frac{4}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\times 10-\frac{3}{25}\times 5\\\frac{3}{25}\times 10+\frac{4}{25}\times 5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=1,y=2$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 12, minnsta sameiginlega margfeldi 3,4,6.

$$4x+3y=10$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 15, minnsta sameiginlega margfeldi 5,3,15.

$$3\left(3x+20y\right)-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 3 með 3x+20y.

$$9x+60y-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda -5 með 8y+1.

$$9x+60y-40y-5=12x+16y$$

Sameinaðu 60y og -40y til að fá 20y.

$$9x+20y-5=12x+16y$$

Dragðu 12x frá báðum hliðum.

$$9x+20y-5-12x=16y$$

Sameinaðu 9x og -12x til að fá -3x.

$$-3x+20y-5=16y$$

Dragðu 16y frá báðum hliðum.

$$-3x+20y-5-16y=0$$

Sameinaðu 20y og -16y til að fá 4y.

$$-3x+4y-5=0$$

Bættu 5 við báðar hliðar. Allt sem er lagt saman við núll skilar sjálfu sér.

$$-3x+4y=5$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$4x+3y=10,-3x+4y=5$$

Til að gera 4x og -3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 4.

$$-3\times 4x-3\times 3y=-3\times 10,4\left(-3\right)x+4\times 4y=4\times 5$$

Einfaldaðu.

$$-12x-9y=-30,-12x+16y=20$$

Dragðu -12x+16y=20 frá -12x-9y=-30 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-12x+12x-9y-16y=-30-20$$

Leggðu -12x saman við 12x. Liðirnir -12x og 12x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-9y-16y=-30-20$$

Leggðu -9y saman við -16y.

$$-25y=-30-20$$

Leggðu -30 saman við -20.

$$-25y=-50$$

Deildu báðum hliðum með -25.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í -3x+4y=5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-3x+4\times 2=5$$

Margfaldaðu 4 sinnum 2.

$$-3x+8=5$$

Dragðu 8 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-3x=-3$$

Deildu báðum hliðum með -3.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=2$$