Leysa {r}{u-30v=-65}{-3u+80v=165}

$$\left\{ \begin{array} { r } { u - 30 v = - 65 } \\ { - 3 u + 80 v = 165 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir u, v

$$u=25$$

$$v=3$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$u-30v=-65,-3u+80v=165$$

Veldu eina jöfnuna og leystu u með því að einangra u vinstra megin við samasemmerkið.

$$u-30v=-65$$

Leggðu 30v saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$u=30v-65$$

Settu 30v-65 inn fyrir u í hinni jöfnunni, -3u+80v=165.

$$-3\left(30v-65\right)+80v=165$$

Margfaldaðu -3 sinnum 30v-65.

$$-90v+195+80v=165$$

Leggðu -90v saman við 80v.

$$-10v+195=165$$

Dragðu 195 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-10v=-30$$

Deildu báðum hliðum með -10.

$$v=3$$

Skiptu 3 út fyrir v í u=30v-65. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst u strax.

$$u=30\times 3-65$$

Margfaldaðu 30 sinnum 3.

$$u=90-65$$

Leggðu -65 saman við 90.

$$u=25$$

Leyst var úr kerfinu.

$$u=25,v=3$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$u-30v=-65,-3u+80v=165$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}&-\frac{-30}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8&-3\\-\frac{3}{10}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\left(-65\right)-3\times 165\\-\frac{3}{10}\left(-65\right)-\frac{1}{10}\times 165\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\3\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna u og v.

$$u=25,v=3$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$u-30v=-65,-3u+80v=165$$

Til að gera u og -3u jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$-3u-3\left(-30\right)v=-3\left(-65\right),-3u+80v=165$$

Einfaldaðu.

$$-3u+90v=195,-3u+80v=165$$

Dragðu -3u+80v=165 frá -3u+90v=195 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-3u+3u+90v-80v=195-165$$

Leggðu -3u saman við 3u. Liðirnir -3u og 3u núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$90v-80v=195-165$$

Leggðu 90v saman við -80v.

$$10v=195-165$$

Leggðu 195 saman við -165.

$$10v=30$$

Deildu báðum hliðum með 10.

$$v=3$$

Skiptu 3 út fyrir v í -3u+80v=165. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst u strax.

$$-3u+80\times 3=165$$

Margfaldaðu 80 sinnum 3.

$$-3u+240=165$$

Dragðu 240 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-3u=-75$$

Deildu báðum hliðum með -3.

$$u=25$$

Leyst var úr kerfinu.

$$u=25,v=3$$