Leysa {r}{5p-q=7}{-2p+3q=5}

$$\left\{ \begin{array} { r } { 5 p - q = 7 } \\ { - 2 p + 3 q = 5 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir p, q

$$p=2$$

$$q=3$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5p-q=7,-2p+3q=5$$

Veldu eina jöfnuna og leystu p með því að einangra p vinstra megin við samasemmerkið.

$$5p-q=7$$

Leggðu q saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5p=q+7$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$p=\frac{1}{5}\left(q+7\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum q+7.

$$p=\frac{1}{5}q+\frac{7}{5}$$

Settu \frac{7+q}{5} inn fyrir p í hinni jöfnunni, -2p+3q=5.

$$-2\left(\frac{1}{5}q+\frac{7}{5}\right)+3q=5$$

Margfaldaðu -2 sinnum \frac{7+q}{5}.

$$-\frac{2}{5}q-\frac{14}{5}+3q=5$$

Leggðu -\frac{2q}{5} saman við 3q.

$$\frac{13}{5}q-\frac{14}{5}=5$$

Leggðu \frac{14}{5} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{13}{5}q=\frac{39}{5}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{13}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$q=3$$

Skiptu 3 út fyrir q í p=\frac{1}{5}q+\frac{7}{5}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst p strax.

$$p=\frac{1}{5}\times 3+\frac{7}{5}$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum 3.

$$p=\frac{3+7}{5}$$

Leggðu \frac{7}{5} saman við \frac{3}{5} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$p=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$p=2,q=3$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5p-q=7,-2p+3q=5$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{5}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\\\frac{2}{13}&\frac{5}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}\times 7+\frac{1}{13}\times 5\\\frac{2}{13}\times 7+\frac{5}{13}\times 5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna p og q.

$$p=2,q=3$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5p-q=7,-2p+3q=5$$

Til að gera 5p og -2p jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 5.

$$-2\times 5p-2\left(-1\right)q=-2\times 7,5\left(-2\right)p+5\times 3q=5\times 5$$

Einfaldaðu.

$$-10p+2q=-14,-10p+15q=25$$

Dragðu -10p+15q=25 frá -10p+2q=-14 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-10p+10p+2q-15q=-14-25$$

Leggðu -10p saman við 10p. Liðirnir -10p og 10p núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$2q-15q=-14-25$$

Leggðu 2q saman við -15q.

$$-13q=-14-25$$

Leggðu -14 saman við -25.

$$-13q=-39$$

Deildu báðum hliðum með -13.

$$q=3$$

Skiptu 3 út fyrir q í -2p+3q=5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst p strax.

$$-2p+3\times 3=5$$

Margfaldaðu 3 sinnum 3.

$$-2p+9=5$$

Dragðu 9 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-2p=-4$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$p=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$p=2,q=3$$