Leysa {l}{y-x=6}{2x+2y=26}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y - x = 6 } \\ { 2 x + 2 y = 26 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir y, x

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3.5$$

$$y = \frac{19}{2} = 9\frac{1}{2} = 9.5$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$y-x=6,2y+2x=26$$

Veldu eina jöfnuna og leystu y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$y-x=6$$

Leggðu x saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$y=x+6$$

Settu x+6 inn fyrir y í hinni jöfnunni, 2y+2x=26.

$$2\left(x+6\right)+2x=26$$

Margfaldaðu 2 sinnum x+6.

$$2x+12+2x=26$$

Leggðu 2x saman við 2x.

$$4x+12=26$$

Dragðu 12 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4x=14$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{7}{2}$$

Skiptu \frac{7}{2} út fyrir x í y=x+6. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=\frac{7}{2}+6$$

Leggðu 6 saman við \frac{7}{2}.

$$y=\frac{19}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=\frac{19}{2},x=\frac{7}{2}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$y-x=6,2y+2x=26$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\26\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\26\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\26\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\26\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{2-\left(-2\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\26\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\26\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 6+\frac{1}{4}\times 26\\-\frac{1}{2}\times 6+\frac{1}{4}\times 26\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{2}\\\frac{7}{2}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og x.

$$y=\frac{19}{2},x=\frac{7}{2}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$y-x=6,2y+2x=26$$

Til að gera y og 2y jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$2y+2\left(-1\right)x=2\times 6,2y+2x=26$$

Einfaldaðu.

$$2y-2x=12,2y+2x=26$$

Dragðu 2y+2x=26 frá 2y-2x=12 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2y-2y-2x-2x=12-26$$

Leggðu 2y saman við -2y. Liðirnir 2y og -2y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-2x-2x=12-26$$

Leggðu -2x saman við -2x.

$$-4x=12-26$$

Leggðu 12 saman við -26.

$$-4x=-14$$

Deildu báðum hliðum með -4.

$$x=\frac{7}{2}$$

Skiptu \frac{7}{2} út fyrir x í 2y+2x=26. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$2y+2\times \frac{7}{2}=26$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{7}{2}.

$$2y+7=26$$

Dragðu 7 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2y=19$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$y=\frac{19}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=\frac{19}{2},x=\frac{7}{2}$$