Leysa {l}{y=kx+2}{y=2x+k}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = k x + 2 } \\ { y = 2 x + k } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=1\text{, }y=k+2\text{, }&\text{unconditionally}\\x=\frac{y-2}{2}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&k=2\end{matrix}\right.$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu kx frá báðum hliðum.

$$y-kx=2$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 2x frá báðum hliðum.

$$y-2x=k$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$y+\left(-k\right)x=2,y-2x=k$$

Veldu eina jöfnuna og leystu y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$y+\left(-k\right)x=2$$

Leggðu kx saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$y=kx+2$$

Settu kx+2 inn fyrir y í hinni jöfnunni, y-2x=k.

$$kx+2-2x=k$$

Leggðu kx saman við -2x.

$$\left(k-2\right)x+2=k$$

Dragðu 2 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\left(k-2\right)x=k-2$$

Deildu báðum hliðum með k-2.

$$x=1$$

Skiptu 1 út fyrir x í y=kx+2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=k+2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=k+2,x=1$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu kx frá báðum hliðum.

$$y-kx=2$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 2x frá báðum hliðum.

$$y-2x=k$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$y+\left(-k\right)x=2,y-2x=k$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\k\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\k\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\k\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\k\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-k\right)}&-\frac{-k}{-2-\left(-k\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-k\right)}&\frac{1}{-2-\left(-k\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\k\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{k-2}&\frac{k}{k-2}\\-\frac{1}{k-2}&\frac{1}{k-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\k\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{2}{k-2}\right)\times 2+\frac{k}{k-2}k\\\left(-\frac{1}{k-2}\right)\times 2+\frac{1}{k-2}k\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}k+2\\1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og x.

$$y=k+2,x=1$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu kx frá báðum hliðum.

$$y-kx=2$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 2x frá báðum hliðum.

$$y-2x=k$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$y+\left(-k\right)x=2,y-2x=k$$

Dragðu y-2x=k frá y+\left(-k\right)x=2 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$y-y+\left(-k\right)x+2x=2-k$$

Leggðu y saman við -y. Liðirnir y og -y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$\left(-k\right)x+2x=2-k$$

Leggðu -kx saman við 2x.

$$\left(2-k\right)x=2-k$$

Deildu báðum hliðum með -k+2.

$$x=1$$

Skiptu 1 út fyrir x í y-2x=k. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y-2=k$$

Leggðu 2 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$y=k+2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=k+2,x=1$$

Leystu fyrir x, y

$$\left\{\begin{matrix}\\x=1\text{, }y=k+2\text{, }&\text{unconditionally}\\x=\frac{y-2}{2}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&k=2\end{matrix}\right.$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu kx frá báðum hliðum.

$$y-kx=2$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 2x frá báðum hliðum.

$$y-2x=k$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$y+\left(-k\right)x=2,y-2x=k$$

Veldu eina jöfnuna og leystu y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$y+\left(-k\right)x=2$$

Leggðu kx saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$y=kx+2$$

Settu kx+2 inn fyrir y í hinni jöfnunni, y-2x=k.

$$kx+2-2x=k$$

Leggðu kx saman við -2x.

$$\left(k-2\right)x+2=k$$

Dragðu 2 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\left(k-2\right)x=k-2$$

Deildu báðum hliðum með k-2.

$$x=1$$

Skiptu 1 út fyrir x í y=kx+2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=k+2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=k+2,x=1$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu kx frá báðum hliðum.

$$y-kx=2$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 2x frá báðum hliðum.

$$y-2x=k$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$y+\left(-k\right)x=2,y-2x=k$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\k\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\k\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\k\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\k\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-k\right)}&-\frac{-k}{-2-\left(-k\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-k\right)}&\frac{1}{-2-\left(-k\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\k\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{k-2}&\frac{k}{k-2}\\-\frac{1}{k-2}&\frac{1}{k-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\k\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{2}{k-2}\right)\times 2+\frac{k}{k-2}k\\\left(-\frac{1}{k-2}\right)\times 2+\frac{1}{k-2}k\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}k+2\\1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og x.

$$y=k+2,x=1$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu kx frá báðum hliðum.

$$y-kx=2$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 2x frá báðum hliðum.

$$y-2x=k$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$y+\left(-k\right)x=2,y-2x=k$$

Dragðu y-2x=k frá y+\left(-k\right)x=2 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$y-y+\left(-k\right)x+2x=2-k$$

Leggðu y saman við -y. Liðirnir y og -y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$\left(-k\right)x+2x=2-k$$

Leggðu -kx saman við 2x.

$$\left(2-k\right)x=2-k$$

Deildu báðum hliðum með -k+2.

$$x=1$$

Skiptu 1 út fyrir x í y-2x=k. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y-2=k$$

Leggðu 2 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$y=k+2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=k+2,x=1$$