Leysa {l}{y=5+x}{5x-2y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 5 + x } \\ { 5 x - 2 y = 2 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir y, x

$$x=4$$

$$y=9$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu x frá báðum hliðum.

$$y-x=5$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$y-x=5,-2y+5x=2$$

Veldu eina jöfnuna og leystu y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$y-x=5$$

Leggðu x saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$y=x+5$$

Settu x+5 inn fyrir y í hinni jöfnunni, -2y+5x=2.

$$-2\left(x+5\right)+5x=2$$

Margfaldaðu -2 sinnum x+5.

$$-2x-10+5x=2$$

Leggðu -2x saman við 5x.

$$3x-10=2$$

Leggðu 10 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=12$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=4$$

Skiptu 4 út fyrir x í y=x+5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=4+5$$

Leggðu 5 saman við 4.

$$y=9$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=9,x=4$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu x frá báðum hliðum.

$$y-x=5$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$y-x=5,-2y+5x=2$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-1\\-2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{5-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{5-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{5-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\times 5+\frac{1}{3}\times 2\\\frac{2}{3}\times 5+\frac{1}{3}\times 2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\4\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og x.

$$y=9,x=4$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu x frá báðum hliðum.

$$y-x=5$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$y-x=5,-2y+5x=2$$

Til að gera y og -2y jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$-2y-2\left(-1\right)x=-2\times 5,-2y+5x=2$$

Einfaldaðu.

$$-2y+2x=-10,-2y+5x=2$$

Dragðu -2y+5x=2 frá -2y+2x=-10 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-2y+2y+2x-5x=-10-2$$

Leggðu -2y saman við 2y. Liðirnir -2y og 2y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$2x-5x=-10-2$$

Leggðu 2x saman við -5x.

$$-3x=-10-2$$

Leggðu -10 saman við -2.

$$-3x=-12$$

Deildu báðum hliðum með -3.

$$x=4$$

Skiptu 4 út fyrir x í -2y+5x=2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$-2y+5\times 4=2$$

Margfaldaðu 5 sinnum 4.

$$-2y+20=2$$

Dragðu 20 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-2y=-18$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$y=9$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=9,x=4$$