Leysa {l}{y=4x+5}{y=8x+9}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 4 x + 5 } \\ { y = 8 x + 9 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir y, x

$$x=-1$$

$$y=1$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 4x frá báðum hliðum.

$$y-4x=5$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 8x frá báðum hliðum.

$$y-8x=9$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$y-4x=5,y-8x=9$$

Veldu eina jöfnuna og leystu y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$y-4x=5$$

Leggðu 4x saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$y=4x+5$$

Settu 4x+5 inn fyrir y í hinni jöfnunni, y-8x=9.

$$4x+5-8x=9$$

Leggðu 4x saman við -8x.

$$-4x+5=9$$

Dragðu 5 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-4x=4$$

Deildu báðum hliðum með -4.

$$x=-1$$

Skiptu -1 út fyrir x í y=4x+5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=4\left(-1\right)+5$$

Margfaldaðu 4 sinnum -1.

$$y=-4+5$$

Leggðu 5 saman við -4.

$$y=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=1,x=-1$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 4x frá báðum hliðum.

$$y-4x=5$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 8x frá báðum hliðum.

$$y-8x=9$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$y-4x=5,y-8x=9$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-4\\1&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-8-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{-8-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{-8-\left(-4\right)}&\frac{1}{-8-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 5-9\\\frac{1}{4}\times 5-\frac{1}{4}\times 9\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og x.

$$y=1,x=-1$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 4x frá báðum hliðum.

$$y-4x=5$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 8x frá báðum hliðum.

$$y-8x=9$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$y-4x=5,y-8x=9$$

Dragðu y-8x=9 frá y-4x=5 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$y-y-4x+8x=5-9$$

Leggðu y saman við -y. Liðirnir y og -y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-4x+8x=5-9$$

Leggðu -4x saman við 8x.

$$4x=5-9$$

Leggðu 5 saman við -9.

$$4x=-4$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=-1$$

Skiptu -1 út fyrir x í y-8x=9. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y-8\left(-1\right)=9$$

Margfaldaðu -8 sinnum -1.

$$y+8=9$$

Dragðu 8 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$y=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=1,x=-1$$