Leysa {l}{y=3x-2}{5x+4y=9}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 3 x - 2 } \\ { 5 x + 4 y = 9 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir y, x

$$x=1$$

$$y=1$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 3x frá báðum hliðum.

$$y-3x=-2$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$y-3x=-2,4y+5x=9$$

Veldu eina jöfnuna og leystu y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$y-3x=-2$$

Leggðu 3x saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$y=3x-2$$

Settu 3x-2 inn fyrir y í hinni jöfnunni, 4y+5x=9.

$$4\left(3x-2\right)+5x=9$$

Margfaldaðu 4 sinnum 3x-2.

$$12x-8+5x=9$$

Leggðu 12x saman við 5x.

$$17x-8=9$$

Leggðu 8 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$17x=17$$

Deildu báðum hliðum með 17.

$$x=1$$

Skiptu 1 út fyrir x í y=3x-2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=3-2$$

Leggðu -2 saman við 3.

$$y=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=1,x=1$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 3x frá báðum hliðum.

$$y-3x=-2$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$y-3x=-2,4y+5x=9$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-3\\4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\9\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\9\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{5-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{5-\left(-3\times 4\right)}&\frac{1}{5-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\9\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{17}&\frac{3}{17}\\-\frac{4}{17}&\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{17}\left(-2\right)+\frac{3}{17}\times 9\\-\frac{4}{17}\left(-2\right)+\frac{1}{17}\times 9\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og x.

$$y=1,x=1$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 3x frá báðum hliðum.

$$y-3x=-2$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$y-3x=-2,4y+5x=9$$

Til að gera y og 4y jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$4y+4\left(-3\right)x=4\left(-2\right),4y+5x=9$$

Einfaldaðu.

$$4y-12x=-8,4y+5x=9$$

Dragðu 4y+5x=9 frá 4y-12x=-8 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$4y-4y-12x-5x=-8-9$$

Leggðu 4y saman við -4y. Liðirnir 4y og -4y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-12x-5x=-8-9$$

Leggðu -12x saman við -5x.

$$-17x=-8-9$$

Leggðu -8 saman við -9.

$$-17x=-17$$

Deildu báðum hliðum með -17.

$$x=1$$

Skiptu 1 út fyrir x í 4y+5x=9. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$4y+5=9$$

Dragðu 5 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4y=4$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$y=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=1,x=1$$