Leysa {l}{y=2x}{x+y=84}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 2 x } \\ { x + y = 84 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir y, x

$$x=28$$

$$y=56$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 2x frá báðum hliðum.

$$y-2x=0$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$y-2x=0,y+x=84$$

Veldu eina jöfnuna og leystu y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$y-2x=0$$

Leggðu 2x saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$y=2x$$

Settu 2x inn fyrir y í hinni jöfnunni, y+x=84.

$$2x+x=84$$

Leggðu 2x saman við x.

$$3x=84$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=28$$

Skiptu 28 út fyrir x í y=2x. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=2\times 28$$

Margfaldaðu 2 sinnum 28.

$$y=56$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=56,x=28$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 2x frá báðum hliðum.

$$y-2x=0$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$y-2x=0,y+x=84$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\84\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\84\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\84\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\84\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{1-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\84\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\84\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 84\\\frac{1}{3}\times 84\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}56\\28\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og x.

$$y=56,x=28$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 2x frá báðum hliðum.

$$y-2x=0$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$y-2x=0,y+x=84$$

Dragðu y+x=84 frá y-2x=0 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$y-y-2x-x=-84$$

Leggðu y saman við -y. Liðirnir y og -y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-2x-x=-84$$

Leggðu -2x saman við -x.

$$-3x=-84$$

Deildu báðum hliðum með -3.

$$x=28$$

Skiptu 28 út fyrir x í y+x=84. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y+28=84$$

Dragðu 28 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$y=56$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=56,x=28$$