Leysa {l}{y=-2x+1}{y=4x-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = - 2 x + 1 } \\ { y = 4 x - 5 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir y, x

$$x=1$$

$$y=-1$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Bættu 2x við báðar hliðar.

$$y+2x=1$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 4x frá báðum hliðum.

$$y-4x=-5$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$y+2x=1,y-4x=-5$$

Veldu eina jöfnuna og leystu y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$y+2x=1$$

Dragðu 2x frá báðum hliðum jöfnunar.

$$y=-2x+1$$

Settu -2x+1 inn fyrir y í hinni jöfnunni, y-4x=-5.

$$-2x+1-4x=-5$$

Leggðu -2x saman við -4x.

$$-6x+1=-5$$

Dragðu 1 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-6x=-6$$

Deildu báðum hliðum með -6.

$$x=1$$

Skiptu 1 út fyrir x í y=-2x+1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=-2+1$$

Leggðu 1 saman við -2.

$$y=-1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=-1,x=1$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Bættu 2x við báðar hliðar.

$$y+2x=1$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 4x frá báðum hliðum.

$$y-4x=-5$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$y+2x=1,y-4x=-5$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-2}&-\frac{2}{-4-2}\\-\frac{1}{-4-2}&\frac{1}{-4-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\left(-5\right)\\\frac{1}{6}-\frac{1}{6}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og x.

$$y=-1,x=1$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Bættu 2x við báðar hliðar.

$$y+2x=1$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 4x frá báðum hliðum.

$$y-4x=-5$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$y+2x=1,y-4x=-5$$

Dragðu y-4x=-5 frá y+2x=1 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$y-y+2x+4x=1+5$$

Leggðu y saman við -y. Liðirnir y og -y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$2x+4x=1+5$$

Leggðu 2x saman við 4x.

$$6x=1+5$$

Leggðu 1 saman við 5.

$$6x=6$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$x=1$$

Skiptu 1 út fyrir x í y-4x=-5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y-4=-5$$

Leggðu 4 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$y=-1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=-1,x=1$$