Leysa {l}{y=-4/6x-5}{8x+5y=-45}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = - \frac { 4 } { 6 } x - 5 } \\ { 8 x + 5 y = - 45 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir y, x

$$x = -\frac{30}{7} = -4\frac{2}{7} \approx -4.285714286$$

$$y = -\frac{15}{7} = -2\frac{1}{7} \approx -2.142857143$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Minnka brotið \frac{4}{6} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 2.

$$y=-\frac{2}{3}x-5$$

Settu -\frac{2x}{3}-5 inn fyrir y í hinni jöfnunni, 5y+8x=-45.

$$5\left(-\frac{2}{3}x-5\right)+8x=-45$$

Margfaldaðu 5 sinnum -\frac{2x}{3}-5.

$$-\frac{10}{3}x-25+8x=-45$$

Leggðu -\frac{10x}{3} saman við 8x.

$$\frac{14}{3}x-25=-45$$

Leggðu 25 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{14}{3}x=-20$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{14}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=-\frac{30}{7}$$

Skiptu -\frac{30}{7} út fyrir x í y=-\frac{2}{3}x-5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=-\frac{2}{3}\left(-\frac{30}{7}\right)-5$$

Margfaldaðu -\frac{2}{3} sinnum -\frac{30}{7} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$y=\frac{20}{7}-5$$

Leggðu -5 saman við \frac{20}{7}.

$$y=-\frac{15}{7}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=-\frac{15}{7},x=-\frac{30}{7}$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Minnka brotið \frac{4}{6} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 2.

$$y=-\frac{2}{3}x-5$$

Bættu \frac{2}{3}x við báðar hliðar.

$$y+\frac{2}{3}x=-5$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$y+\frac{2}{3}x=-5,5y+8x=-45$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8-\frac{2}{3}\times 5}&-\frac{\frac{2}{3}}{8-\frac{2}{3}\times 5}\\-\frac{5}{8-\frac{2}{3}\times 5}&\frac{1}{8-\frac{2}{3}\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{15}{14}&\frac{3}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{7}\left(-5\right)-\frac{1}{7}\left(-45\right)\\-\frac{15}{14}\left(-5\right)+\frac{3}{14}\left(-45\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{7}\\-\frac{30}{7}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og x.

$$y=-\frac{15}{7},x=-\frac{30}{7}$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Minnka brotið \frac{4}{6} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 2.

$$y=-\frac{2}{3}x-5$$

Bættu \frac{2}{3}x við báðar hliðar.

$$y+\frac{2}{3}x=-5$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$y+\frac{2}{3}x=-5,5y+8x=-45$$

Til að gera y og 5y jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 5 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$5y+5\times \frac{2}{3}x=5\left(-5\right),5y+8x=-45$$

Einfaldaðu.

$$5y+\frac{10}{3}x=-25,5y+8x=-45$$

Dragðu 5y+8x=-45 frá 5y+\frac{10}{3}x=-25 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$5y-5y+\frac{10}{3}x-8x=-25+45$$

Leggðu 5y saman við -5y. Liðirnir 5y og -5y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$\frac{10}{3}x-8x=-25+45$$

Leggðu \frac{10x}{3} saman við -8x.

$$-\frac{14}{3}x=-25+45$$

Leggðu -25 saman við 45.

$$-\frac{14}{3}x=20$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{14}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=-\frac{30}{7}$$

Skiptu -\frac{30}{7} út fyrir x í 5y+8x=-45. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$5y+8\left(-\frac{30}{7}\right)=-45$$

Margfaldaðu 8 sinnum -\frac{30}{7}.

$$5y-\frac{240}{7}=-45$$

Leggðu \frac{240}{7} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5y=-\frac{75}{7}$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$y=-\frac{15}{7}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=-\frac{15}{7},x=-\frac{30}{7}$$