Leysa {l}{y=-3/4x+3/4}{y=4/3x+11/3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = - \frac { 3 } { 4 } x + \frac { 3 } { 4 } } \\ { y = \frac { 4 } { 3 } x + \frac { 11 } { 3 } } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir y, x

$$x = -\frac{7}{5} = -1\frac{2}{5} = -1.4$$

$$y = \frac{9}{5} = 1\frac{4}{5} = 1.8$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Bættu \frac{3}{4}x við báðar hliðar.

$$y+\frac{3}{4}x=\frac{3}{4}$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu \frac{4}{3}x frá báðum hliðum.

$$y-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3}$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$y+\frac{3}{4}x=\frac{3}{4},y-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3}$$

Veldu eina jöfnuna og leystu y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$y+\frac{3}{4}x=\frac{3}{4}$$

Dragðu \frac{3x}{4} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$y=-\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}$$

Settu \frac{-3x+3}{4} inn fyrir y í hinni jöfnunni, y-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3}.

$$-\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3}$$

Leggðu -\frac{3x}{4} saman við -\frac{4x}{3}.

$$-\frac{25}{12}x+\frac{3}{4}=\frac{11}{3}$$

Dragðu \frac{3}{4} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{25}{12}x=\frac{35}{12}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{25}{12}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=-\frac{7}{5}$$

Skiptu -\frac{7}{5} út fyrir x í y=-\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=-\frac{3}{4}\left(-\frac{7}{5}\right)+\frac{3}{4}$$

Margfaldaðu -\frac{3}{4} sinnum -\frac{7}{5} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$y=\frac{21}{20}+\frac{3}{4}$$

Leggðu \frac{3}{4} saman við \frac{21}{20} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$y=\frac{9}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=\frac{9}{5},x=-\frac{7}{5}$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Bættu \frac{3}{4}x við báðar hliðar.

$$y+\frac{3}{4}x=\frac{3}{4}$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu \frac{4}{3}x frá báðum hliðum.

$$y-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3}$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$y+\frac{3}{4}x=\frac{3}{4},y-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3}$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{4}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&\frac{3}{4}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{4}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{4}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{4}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{4}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{4}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{4}{3}}{-\frac{4}{3}-\frac{3}{4}}&-\frac{\frac{3}{4}}{-\frac{4}{3}-\frac{3}{4}}\\-\frac{1}{-\frac{4}{3}-\frac{3}{4}}&\frac{1}{-\frac{4}{3}-\frac{3}{4}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{25}&\frac{9}{25}\\\frac{12}{25}&-\frac{12}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{25}\times \frac{3}{4}+\frac{9}{25}\times \frac{11}{3}\\\frac{12}{25}\times \frac{3}{4}-\frac{12}{25}\times \frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{5}\\-\frac{7}{5}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og x.

$$y=\frac{9}{5},x=-\frac{7}{5}$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Bættu \frac{3}{4}x við báðar hliðar.

$$y+\frac{3}{4}x=\frac{3}{4}$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu \frac{4}{3}x frá báðum hliðum.

$$y-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3}$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$y+\frac{3}{4}x=\frac{3}{4},y-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3}$$

Dragðu y-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3} frá y+\frac{3}{4}x=\frac{3}{4} með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$y-y+\frac{3}{4}x+\frac{4}{3}x=\frac{3}{4}-\frac{11}{3}$$

Leggðu y saman við -y. Liðirnir y og -y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$\frac{3}{4}x+\frac{4}{3}x=\frac{3}{4}-\frac{11}{3}$$

Leggðu \frac{3x}{4} saman við \frac{4x}{3}.

$$\frac{25}{12}x=\frac{3}{4}-\frac{11}{3}$$

Leggðu \frac{3}{4} saman við -\frac{11}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$\frac{25}{12}x=-\frac{35}{12}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{25}{12}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=-\frac{7}{5}$$

Skiptu -\frac{7}{5} út fyrir x í y-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y-\frac{4}{3}\left(-\frac{7}{5}\right)=\frac{11}{3}$$

Margfaldaðu -\frac{4}{3} sinnum -\frac{7}{5} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$y+\frac{28}{15}=\frac{11}{3}$$

Dragðu \frac{28}{15} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$y=\frac{9}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=\frac{9}{5},x=-\frac{7}{5}$$