Leysa {l}{y=-4/5x-9}{y=-8x/3-15}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = \frac { - 4 } { 5 } x - 9 } \\ { y = - \frac { 8 x } { 3 } - 15 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir y, x

$$x = -\frac{45}{14} = -3\frac{3}{14} \approx -3.214285714$$

$$y = -\frac{45}{7} = -6\frac{3}{7} \approx -6.428571429$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Endurskrifa má brotið \frac{-4}{5} sem -\frac{4}{5} með því að taka mínusmerkið.

$$y=-\frac{4}{5}x-9$$

Settu -\frac{4x}{5}-9 inn fyrir y í hinni jöfnunni, 3y+8x=-45.

$$3\left(-\frac{4}{5}x-9\right)+8x=-45$$

Margfaldaðu 3 sinnum -\frac{4x}{5}-9.

$$-\frac{12}{5}x-27+8x=-45$$

Leggðu -\frac{12x}{5} saman við 8x.

$$\frac{28}{5}x-27=-45$$

Leggðu 27 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{28}{5}x=-18$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{28}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=-\frac{45}{14}$$

Skiptu -\frac{45}{14} út fyrir x í y=-\frac{4}{5}x-9. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=-\frac{4}{5}\left(-\frac{45}{14}\right)-9$$

Margfaldaðu -\frac{4}{5} sinnum -\frac{45}{14} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$y=\frac{18}{7}-9$$

Leggðu -9 saman við \frac{18}{7}.

$$y=-\frac{45}{7}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=-\frac{45}{7},x=-\frac{45}{14}$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Endurskrifa má brotið \frac{-4}{5} sem -\frac{4}{5} með því að taka mínusmerkið.

$$y=-\frac{4}{5}x-9$$

Bættu \frac{4}{5}x við báðar hliðar.

$$y+\frac{4}{5}x=-9$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu \frac{8x}{3} við báðar hliðar.

$$y+\frac{8x}{3}=-15$$

Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 3.

$$3y+8x=-45$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$y+\frac{4}{5}x=-9,3y+8x=-45$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8-\frac{4}{5}\times 3}&-\frac{\frac{4}{5}}{8-\frac{4}{5}\times 3}\\-\frac{3}{8-\frac{4}{5}\times 3}&\frac{1}{8-\frac{4}{5}\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{15}{28}&\frac{5}{28}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{7}\left(-9\right)-\frac{1}{7}\left(-45\right)\\-\frac{15}{28}\left(-9\right)+\frac{5}{28}\left(-45\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{45}{7}\\-\frac{45}{14}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og x.

$$y=-\frac{45}{7},x=-\frac{45}{14}$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Endurskrifa má brotið \frac{-4}{5} sem -\frac{4}{5} með því að taka mínusmerkið.

$$y=-\frac{4}{5}x-9$$

Bættu \frac{4}{5}x við báðar hliðar.

$$y+\frac{4}{5}x=-9$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu \frac{8x}{3} við báðar hliðar.

$$y+\frac{8x}{3}=-15$$

Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 3.

$$3y+8x=-45$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$y+\frac{4}{5}x=-9,3y+8x=-45$$

Til að gera y og 3y jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$3y+3\times \frac{4}{5}x=3\left(-9\right),3y+8x=-45$$

Einfaldaðu.

$$3y+\frac{12}{5}x=-27,3y+8x=-45$$

Dragðu 3y+8x=-45 frá 3y+\frac{12}{5}x=-27 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$3y-3y+\frac{12}{5}x-8x=-27+45$$

Leggðu 3y saman við -3y. Liðirnir 3y og -3y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$\frac{12}{5}x-8x=-27+45$$

Leggðu \frac{12x}{5} saman við -8x.

$$-\frac{28}{5}x=-27+45$$

Leggðu -27 saman við 45.

$$-\frac{28}{5}x=18$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{28}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=-\frac{45}{14}$$

Skiptu -\frac{45}{14} út fyrir x í 3y+8x=-45. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$3y+8\left(-\frac{45}{14}\right)=-45$$

Margfaldaðu 8 sinnum -\frac{45}{14}.

$$3y-\frac{180}{7}=-45$$

Leggðu \frac{180}{7} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3y=-\frac{135}{7}$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$y=-\frac{45}{7}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=-\frac{45}{7},x=-\frac{45}{14}$$