Leysa {l}{x_{1}+x_{2}=97}{frac{x_{2}}{x_{1}}=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x _ { 1 } + x _ { 2 } = 97 } \\ { \frac { x _ { 2 } } { x _ { 1 } } = 2 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x_1, x_2

$$x_{1} = \frac{97}{3} = 32\frac{1}{3} \approx 32.333333333$$

$$x_{2} = \frac{194}{3} = 64\frac{2}{3} \approx 64.666666667$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu aðra jöfnuna. Breytan x_{1} getur ekki verið jöfn 0, þar sem deiling með núlli hefur ekki verið skilgreind. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með x_{1}.

$$x_{2}=2x_{1}$$

Dragðu 2x_{1} frá báðum hliðum.

$$x_{2}-2x_{1}=0$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x_{1}+x_{2}=97,-2x_{1}+x_{2}=0$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x_{1} með því að einangra x_{1} vinstra megin við samasemmerkið.

$$x_{1}+x_{2}=97$$

Dragðu x_{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x_{1}=-x_{2}+97$$

Settu -x_{2}+97 inn fyrir x_{1} í hinni jöfnunni, -2x_{1}+x_{2}=0.

$$-2\left(-x_{2}+97\right)+x_{2}=0$$

Margfaldaðu -2 sinnum -x_{2}+97.

$$2x_{2}-194+x_{2}=0$$

Leggðu 2x_{2} saman við x_{2}.

$$3x_{2}-194=0$$

Leggðu 194 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x_{2}=194$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x_{2}=\frac{194}{3}$$

Skiptu \frac{194}{3} út fyrir x_{2} í x_{1}=-x_{2}+97. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x_{1} strax.

$$x_{1}=-\frac{194}{3}+97$$

Leggðu 97 saman við -\frac{194}{3}.

$$x_{1}=\frac{97}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x_{1}=\frac{97}{3},x_{2}=\frac{194}{3}$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu aðra jöfnuna. Breytan x_{1} getur ekki verið jöfn 0, þar sem deiling með núlli hefur ekki verið skilgreind. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með x_{1}.

$$x_{2}=2x_{1}$$

Dragðu 2x_{1} frá báðum hliðum.

$$x_{2}-2x_{1}=0$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x_{1}+x_{2}=97,-2x_{1}+x_{2}=0$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\right)}&-\frac{1}{1-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{1-\left(-2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 97\\\frac{2}{3}\times 97\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{97}{3}\\\frac{194}{3}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x_{1} og x_{2}.

$$x_{1}=\frac{97}{3},x_{2}=\frac{194}{3}$$

Skref með útilokun

Íhugaðu aðra jöfnuna. Breytan x_{1} getur ekki verið jöfn 0, þar sem deiling með núlli hefur ekki verið skilgreind. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með x_{1}.

$$x_{2}=2x_{1}$$

Dragðu 2x_{1} frá báðum hliðum.

$$x_{2}-2x_{1}=0$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x_{1}+x_{2}=97,-2x_{1}+x_{2}=0$$

Dragðu -2x_{1}+x_{2}=0 frá x_{1}+x_{2}=97 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$x_{1}+2x_{1}+x_{2}-x_{2}=97$$

Leggðu x_{2} saman við -x_{2}. Liðirnir x_{2} og -x_{2} núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$x_{1}+2x_{1}=97$$

Leggðu x_{1} saman við 2x_{1}.

$$3x_{1}=97$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x_{1}=\frac{97}{3}$$

Skiptu \frac{97}{3} út fyrir x_{1} í -2x_{1}+x_{2}=0. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x_{2} strax.

$$-2\times \frac{97}{3}+x_{2}=0$$

Margfaldaðu -2 sinnum \frac{97}{3}.

$$-\frac{194}{3}+x_{2}=0$$

Leggðu \frac{194}{3} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x_{2}=\frac{194}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x_{1}=\frac{97}{3},x_{2}=\frac{194}{3}$$