Leysa {l}{x-y=5}{5x-8y=19}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 5 } \\ { 5 x - 8 y = 19 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=7$$

$$y=2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x-y=5,5x-8y=19$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x-y=5$$

Leggðu y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=y+5$$

Settu y+5 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 5x-8y=19.

$$5\left(y+5\right)-8y=19$$

Margfaldaðu 5 sinnum y+5.

$$5y+25-8y=19$$

Leggðu 5y saman við -8y.

$$-3y+25=19$$

Dragðu 25 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-3y=-6$$

Deildu báðum hliðum með -3.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í x=y+5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=2+5$$

Leggðu 5 saman við 2.

$$x=7$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=7,y=2$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x-y=5,5x-8y=19$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\19\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-1\\5&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\19\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\19\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\19\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-8-\left(-5\right)}&-\frac{-1}{-8-\left(-5\right)}\\-\frac{5}{-8-\left(-5\right)}&\frac{1}{-8-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\19\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{5}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\19\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}\times 5-\frac{1}{3}\times 19\\\frac{5}{3}\times 5-\frac{1}{3}\times 19\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=7,y=2$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x-y=5,5x-8y=19$$

Til að gera x og 5x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 5 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$5x+5\left(-1\right)y=5\times 5,5x-8y=19$$

Einfaldaðu.

$$5x-5y=25,5x-8y=19$$

Dragðu 5x-8y=19 frá 5x-5y=25 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$5x-5x-5y+8y=25-19$$

Leggðu 5x saman við -5x. Liðirnir 5x og -5x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-5y+8y=25-19$$

Leggðu -5y saman við 8y.

$$3y=25-19$$

Leggðu 25 saman við -19.

$$3y=6$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í 5x-8y=19. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$5x-8\times 2=19$$

Margfaldaðu -8 sinnum 2.

$$5x-16=19$$

Leggðu 16 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5x=35$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=7$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=7,y=2$$