Leysa {l}{x-y=2x}{2x+y=16}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 2 x } \\ { 2 x + y = 16 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=16$$

$$y=-16$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 2x frá báðum hliðum.

$$x-y-2x=0$$

Sameinaðu x og -2x til að fá -x.

$$-x-y=0$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-x-y=0,2x+y=16$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-x-y=0$$

Leggðu y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-x=y$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$x=-y$$

Settu -y inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x+y=16.

$$2\left(-1\right)y+y=16$$

Margfaldaðu 2 sinnum -y.

$$-2y+y=16$$

Leggðu -2y saman við y.

$$-y=16$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$y=-16$$

Skiptu -16 út fyrir y í x=-y. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\left(-16\right)$$

Margfaldaðu -1 sinnum -16.

$$x=16$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=16,y=-16$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 2x frá báðum hliðum.

$$x-y-2x=0$$

Sameinaðu x og -2x til að fá -x.

$$-x-y=0$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-x-y=0,2x+y=16$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-1&-1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-1&-1\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-1-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{-1-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{-1-\left(-2\right)}&-\frac{1}{-1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\-16\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=16,y=-16$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 2x frá báðum hliðum.

$$x-y-2x=0$$

Sameinaðu x og -2x til að fá -x.

$$-x-y=0$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-x-y=0,2x+y=16$$

Til að gera -x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -1.

$$2\left(-1\right)x+2\left(-1\right)y=0,-2x-y=-16$$

Einfaldaðu.

$$-2x-2y=0,-2x-y=-16$$

Dragðu -2x-y=-16 frá -2x-2y=0 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-2x+2x-2y+y=16$$

Leggðu -2x saman við 2x. Liðirnir -2x og 2x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-2y+y=16$$

Leggðu -2y saman við y.

$$-y=16$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$y=-16$$

Skiptu -16 út fyrir y í 2x+y=16. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x-16=16$$

Leggðu 16 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=32$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=16$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=16,y=-16$$