Leysa {l}{x-y=2a}{2x+3y=5-a}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 2 a } \\ { 2 x + 3 y = 5 - a } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=a+1$$

$$y=1-a$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x-y=2a,2x+3y=5-a$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x-y=2a$$

Leggðu y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=y+2a$$

Settu y+2a inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x+3y=5-a.

$$2\left(y+2a\right)+3y=5-a$$

Margfaldaðu 2 sinnum y+2a.

$$2y+4a+3y=5-a$$

Leggðu 2y saman við 3y.

$$5y+4a=5-a$$

Dragðu 4a frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5y=5-5a$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$y=1-a$$

Skiptu 1-a út fyrir y í x=y+2a. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=1-a+2a$$

Leggðu 2a saman við 1-a.

$$x=a+1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=a+1,y=1-a$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x-y=2a,2x+3y=5-a$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2a\\5-a\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2a\\5-a\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2a\\5-a\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2a\\5-a\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{3-\left(-2\right)}&\frac{1}{3-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2a\\5-a\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2a\\5-a\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 2a+\frac{1}{5}\left(5-a\right)\\-\frac{2}{5}\times 2a+\frac{1}{5}\left(5-a\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a+1\\1-a\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=a+1,y=1-a$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x-y=2a,2x+3y=5-a$$

Til að gera x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$2x+2\left(-1\right)y=2\times 2a,2x+3y=5-a$$

Einfaldaðu.

$$2x-2y=4a,2x+3y=5-a$$

Dragðu 2x+3y=5-a frá 2x-2y=4a með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2x-2x-2y-3y=4a+a-5$$

Leggðu 2x saman við -2x. Liðirnir 2x og -2x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-2y-3y=4a+a-5$$

Leggðu -2y saman við -3y.

$$-5y=4a+a-5$$

Leggðu 4a saman við -5+a.

$$-5y=5a-5$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$y=1-a$$

Skiptu 1-a út fyrir y í 2x+3y=5-a. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x+3\left(1-a\right)=5-a$$

Margfaldaðu 3 sinnum 1-a.

$$2x+3-3a=5-a$$

Dragðu 3-3a frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=2a+2$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=a+1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=a+1,y=1-a$$