Leysa {l}{x-y=2}{2x-3y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 2 } \\ { 2 x - 3 y = 2 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=4$$

$$y=2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x-y=2,2x-3y=2$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x-y=2$$

Leggðu y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=y+2$$

Settu y+2 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x-3y=2.

$$2\left(y+2\right)-3y=2$$

Margfaldaðu 2 sinnum y+2.

$$2y+4-3y=2$$

Leggðu 2y saman við -3y.

$$-y+4=2$$

Dragðu 4 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-y=-2$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í x=y+2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=2+2$$

Leggðu 2 saman við 2.

$$x=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=4,y=2$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x-y=2,2x-3y=2$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-1\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{-3-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{-3-\left(-2\right)}&\frac{1}{-3-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 2-2\\2\times 2-2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=4,y=2$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x-y=2,2x-3y=2$$

Til að gera x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$2x+2\left(-1\right)y=2\times 2,2x-3y=2$$

Einfaldaðu.

$$2x-2y=4,2x-3y=2$$

Dragðu 2x-3y=2 frá 2x-2y=4 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2x-2x-2y+3y=4-2$$

Leggðu 2x saman við -2x. Liðirnir 2x og -2x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-2y+3y=4-2$$

Leggðu -2y saman við 3y.

$$y=4-2$$

Leggðu 4 saman við -2.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í 2x-3y=2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x-3\times 2=2$$

Margfaldaðu -3 sinnum 2.

$$2x-6=2$$

Leggðu 6 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=8$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=4,y=2$$