Leysa {l}{x-y=13}{x=6y-7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 13 } \\ { x = 6 y - 7 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=17$$

$$y=4$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 6y frá báðum hliðum.

$$x-6y=-7$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x-y=13,x-6y=-7$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x-y=13$$

Leggðu y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=y+13$$

Settu y+13 inn fyrir x í hinni jöfnunni, x-6y=-7.

$$y+13-6y=-7$$

Leggðu y saman við -6y.

$$-5y+13=-7$$

Dragðu 13 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-5y=-20$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$y=4$$

Skiptu 4 út fyrir y í x=y+13. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=4+13$$

Leggðu 13 saman við 4.

$$x=17$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=17,y=4$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 6y frá báðum hliðum.

$$x-6y=-7$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x-y=13,x-6y=-7$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-1\\1&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-7\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-7\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{-6-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{-6-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{-6-\left(-1\right)}&\frac{1}{-6-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}&-\frac{1}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}\times 13-\frac{1}{5}\left(-7\right)\\\frac{1}{5}\times 13-\frac{1}{5}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\4\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=17,y=4$$

Skref með útilokun

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 6y frá báðum hliðum.

$$x-6y=-7$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x-y=13,x-6y=-7$$

Dragðu x-6y=-7 frá x-y=13 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$x-x-y+6y=13+7$$

Leggðu x saman við -x. Liðirnir x og -x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-y+6y=13+7$$

Leggðu -y saman við 6y.

$$5y=13+7$$

Leggðu 13 saman við 7.

$$5y=20$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$y=4$$

Skiptu 4 út fyrir y í x-6y=-7. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x-6\times 4=-7$$

Margfaldaðu -6 sinnum 4.

$$x-24=-7$$

Leggðu 24 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=17$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=17,y=4$$