Leysa {l}{x-y=10}{2x+2,5y=200}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 10 } \\ { 2 x + 2,5 y = 200 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=50$$

$$y=40$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x-y=10;2x+2,5y=200$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x-y=10$$

Leggðu y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=y+10$$

Settu y+10 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x+2,5y=200.

$$2\left(y+10\right)+2,5y=200$$

Margfaldaðu 2 sinnum y+10.

$$2y+20+2,5y=200$$

Leggðu 2y saman við \frac{5y}{2}.

$$4,5y+20=200$$

Dragðu 20 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4,5y=180$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með 4,5. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=40$$

Skiptu 40 út fyrir y í x=y+10. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=40+10$$

Leggðu 10 saman við 40.

$$x=50$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=50;y=40$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x-y=10;2x+2,5y=200$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2,5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\200\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-1\\2&2,5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2,5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2,5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2,5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\200\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2,5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\200\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2,5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\200\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2,5}{2,5-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{2,5-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{2,5-\left(-2\right)}&\frac{1}{2,5-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\200\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}&\frac{2}{9}\\-\frac{4}{9}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\200\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}\times 10+\frac{2}{9}\times 200\\-\frac{4}{9}\times 10+\frac{2}{9}\times 200\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\40\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=50;y=40$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x-y=10;2x+2,5y=200$$

Til að gera x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$2x+2\left(-1\right)y=2\times 10;2x+2,5y=200$$

Einfaldaðu.

$$2x-2y=20;2x+2,5y=200$$

Dragðu 2x+2,5y=200 frá 2x-2y=20 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2x-2x-2y-2,5y=20-200$$

Leggðu 2x saman við -2x. Liðirnir 2x og -2x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-2y-2,5y=20-200$$

Leggðu -2y saman við -\frac{5y}{2}.

$$-4,5y=20-200$$

Leggðu 20 saman við -200.

$$-4,5y=-180$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -4,5. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=40$$

Skiptu 40 út fyrir y í 2x+2,5y=200. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x+2,5\times 40=200$$

Margfaldaðu 2,5 sinnum 40.

$$2x+100=200$$

Dragðu 100 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=100$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=50$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=50;y=40$$