Leysa {l}{x-y=10}{2x+(2y+1/2)=200}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 10 } \\ { 2 x + ( 2 y + \frac { 1 } { 2 } ) = 200 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{439}{8} = 54\frac{7}{8} = 54.875$$

$$y = \frac{359}{8} = 44\frac{7}{8} = 44.875$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x-y=10,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x-y=10$$

Leggðu y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=y+10$$

Settu y+10 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x+2y+\frac{1}{2}=200.

$$2\left(y+10\right)+2y+\frac{1}{2}=200$$

Margfaldaðu 2 sinnum y+10.

$$2y+20+2y+\frac{1}{2}=200$$

Leggðu 2y saman við 2y.

$$4y+20+\frac{1}{2}=200$$

Leggðu 20 saman við \frac{1}{2}.

$$4y+\frac{41}{2}=200$$

Dragðu \frac{41}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4y=\frac{359}{2}$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$y=\frac{359}{8}$$

Skiptu \frac{359}{8} út fyrir y í x=y+10. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{359}{8}+10$$

Leggðu 10 saman við \frac{359}{8}.

$$x=\frac{439}{8}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{439}{8},y=\frac{359}{8}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x-y=10,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{2-\left(-2\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 10+\frac{1}{4}\times \frac{399}{2}\\-\frac{1}{2}\times 10+\frac{1}{4}\times \frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{439}{8}\\\frac{359}{8}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{439}{8},y=\frac{359}{8}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x-y=10,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

Til að gera x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$2x+2\left(-1\right)y=2\times 10,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

Einfaldaðu.

$$2x-2y=20,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

Dragðu 2x+2y+\frac{1}{2}=200 frá 2x-2y=20 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2x-2x-2y-2y-\frac{1}{2}=20-200$$

Leggðu 2x saman við -2x. Liðirnir 2x og -2x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-2y-2y-\frac{1}{2}=20-200$$

Leggðu -2y saman við -2y.

$$-4y-\frac{1}{2}=20-200$$

Leggðu 20 saman við -200.

$$-4y-\frac{1}{2}=-180$$

Leggðu \frac{1}{2} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-4y=-\frac{359}{2}$$

Deildu báðum hliðum með -4.

$$y=\frac{359}{8}$$

Skiptu \frac{359}{8} út fyrir y í 2x+2y+\frac{1}{2}=200. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x+2\times \frac{359}{8}+\frac{1}{2}=200$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{359}{8}.

$$2x+\frac{359}{4}+\frac{1}{2}=200$$

Leggðu \frac{359}{4} saman við \frac{1}{2} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$2x+\frac{361}{4}=200$$

Dragðu \frac{361}{4} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=\frac{439}{4}$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{439}{8}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{439}{8},y=\frac{359}{8}$$