Leysa {l}{x-y=-5}{3x+2y=10}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = - 5 } \\ { 3 x + 2 y = 10 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=0$$

$$y=5$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x-y=-5,3x+2y=10$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x-y=-5$$

Leggðu y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=y-5$$

Settu y-5 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x+2y=10.

$$3\left(y-5\right)+2y=10$$

Margfaldaðu 3 sinnum y-5.

$$3y-15+2y=10$$

Leggðu 3y saman við 2y.

$$5y-15=10$$

Leggðu 15 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5y=25$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$y=5$$

Skiptu 5 út fyrir y í x=y-5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=5-5$$

Leggðu -5 saman við 5.

$$x=0$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=0,y=5$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x-y=-5,3x+2y=10$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-1\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\10\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\10\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{2-\left(-3\right)}&\frac{1}{2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\10\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\left(-5\right)+\frac{1}{5}\times 10\\-\frac{3}{5}\left(-5\right)+\frac{1}{5}\times 10\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=0,y=5$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x-y=-5,3x+2y=10$$

Til að gera x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$3x+3\left(-1\right)y=3\left(-5\right),3x+2y=10$$

Einfaldaðu.

$$3x-3y=-15,3x+2y=10$$

Dragðu 3x+2y=10 frá 3x-3y=-15 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$3x-3x-3y-2y=-15-10$$

Leggðu 3x saman við -3x. Liðirnir 3x og -3x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-3y-2y=-15-10$$

Leggðu -3y saman við -2y.

$$-5y=-15-10$$

Leggðu -15 saman við -10.

$$-5y=-25$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$y=5$$

Skiptu 5 út fyrir y í 3x+2y=10. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x+2\times 5=10$$

Margfaldaðu 2 sinnum 5.

$$3x+10=10$$

Dragðu 10 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=0$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=0$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=0,y=5$$