Leysa {l}{x-7y=6}{5x+3y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 7 y = 6 } \\ { 5 x + 3 y = 2 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=\frac{16}{19}\approx 0.842105263$$

$$y=-\frac{14}{19}\approx -0.736842105$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x-7y=6,5x+3y=2$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x-7y=6$$

Leggðu 7y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=7y+6$$

Settu 7y+6 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 5x+3y=2.

$$5\left(7y+6\right)+3y=2$$

Margfaldaðu 5 sinnum 7y+6.

$$35y+30+3y=2$$

Leggðu 35y saman við 3y.

$$38y+30=2$$

Dragðu 30 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$38y=-28$$

Deildu báðum hliðum með 38.

$$y=-\frac{14}{19}$$

Skiptu -\frac{14}{19} út fyrir y í x=7y+6. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=7\left(-\frac{14}{19}\right)+6$$

Margfaldaðu 7 sinnum -\frac{14}{19}.

$$x=-\frac{98}{19}+6$$

Leggðu 6 saman við -\frac{98}{19}.

$$x=\frac{16}{19}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{16}{19},y=-\frac{14}{19}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x-7y=6,5x+3y=2$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-7\times 5\right)}&-\frac{-7}{3-\left(-7\times 5\right)}\\-\frac{5}{3-\left(-7\times 5\right)}&\frac{1}{3-\left(-7\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{38}&\frac{7}{38}\\-\frac{5}{38}&\frac{1}{38}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{38}\times 6+\frac{7}{38}\times 2\\-\frac{5}{38}\times 6+\frac{1}{38}\times 2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{19}\\-\frac{14}{19}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{16}{19},y=-\frac{14}{19}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x-7y=6,5x+3y=2$$

Til að gera x og 5x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 5 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$5x+5\left(-7\right)y=5\times 6,5x+3y=2$$

Einfaldaðu.

$$5x-35y=30,5x+3y=2$$

Dragðu 5x+3y=2 frá 5x-35y=30 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$5x-5x-35y-3y=30-2$$

Leggðu 5x saman við -5x. Liðirnir 5x og -5x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-35y-3y=30-2$$

Leggðu -35y saman við -3y.

$$-38y=30-2$$

Leggðu 30 saman við -2.

$$-38y=28$$

Deildu báðum hliðum með -38.

$$y=-\frac{14}{19}$$

Skiptu -\frac{14}{19} út fyrir y í 5x+3y=2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$5x+3\left(-\frac{14}{19}\right)=2$$

Margfaldaðu 3 sinnum -\frac{14}{19}.

$$5x-\frac{42}{19}=2$$

Leggðu \frac{42}{19} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5x=\frac{80}{19}$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{16}{19}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{16}{19},y=-\frac{14}{19}$$