Leysa {l}{x-4y=5}{-2x-y=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 4 y = 5 } \\ { - 2 x - y = 4 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = -\frac{11}{9} = -1\frac{2}{9} \approx -1.222222222$$

$$y = -\frac{14}{9} = -1\frac{5}{9} \approx -1.555555556$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x-4y=5,-2x-y=4$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x-4y=5$$

Leggðu 4y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=4y+5$$

Settu 4y+5 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -2x-y=4.

$$-2\left(4y+5\right)-y=4$$

Margfaldaðu -2 sinnum 4y+5.

$$-8y-10-y=4$$

Leggðu -8y saman við -y.

$$-9y-10=4$$

Leggðu 10 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-9y=14$$

Deildu báðum hliðum með -9.

$$y=-\frac{14}{9}$$

Skiptu -\frac{14}{9} út fyrir y í x=4y+5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=4\left(-\frac{14}{9}\right)+5$$

Margfaldaðu 4 sinnum -\frac{14}{9}.

$$x=-\frac{56}{9}+5$$

Leggðu 5 saman við -\frac{56}{9}.

$$x=-\frac{11}{9}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{11}{9},y=-\frac{14}{9}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x-4y=5,-2x-y=4$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-4\\-2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-4\left(-2\right)\right)}&-\frac{-4}{-1-\left(-4\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{-1-\left(-4\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{-1-\left(-4\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{4}{9}\\-\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 5-\frac{4}{9}\times 4\\-\frac{2}{9}\times 5-\frac{1}{9}\times 4\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{9}\\-\frac{14}{9}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-\frac{11}{9},y=-\frac{14}{9}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x-4y=5,-2x-y=4$$

Til að gera x og -2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$-2x-2\left(-4\right)y=-2\times 5,-2x-y=4$$

Einfaldaðu.

$$-2x+8y=-10,-2x-y=4$$

Dragðu -2x-y=4 frá -2x+8y=-10 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-2x+2x+8y+y=-10-4$$

Leggðu -2x saman við 2x. Liðirnir -2x og 2x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$8y+y=-10-4$$

Leggðu 8y saman við y.

$$9y=-10-4$$

Leggðu -10 saman við -4.

$$9y=-14$$

Deildu báðum hliðum með 9.

$$y=-\frac{14}{9}$$

Skiptu -\frac{14}{9} út fyrir y í -2x-y=4. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-2x-\left(-\frac{14}{9}\right)=4$$

Dragðu \frac{14}{9} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-2x=\frac{22}{9}$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$x=-\frac{11}{9}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{11}{9},y=-\frac{14}{9}$$