Leysa {l}{x-4y=1}{2x+y=16}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 4 y = 1 } \\ { 2 x + y = 16 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{65}{9} = 7\frac{2}{9} \approx 7.222222222$$

$$y = \frac{14}{9} = 1\frac{5}{9} \approx 1.555555556$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x-4y=1,2x+y=16$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x-4y=1$$

Leggðu 4y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=4y+1$$

Settu 4y+1 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x+y=16.

$$2\left(4y+1\right)+y=16$$

Margfaldaðu 2 sinnum 4y+1.

$$8y+2+y=16$$

Leggðu 8y saman við y.

$$9y+2=16$$

Dragðu 2 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$9y=14$$

Deildu báðum hliðum með 9.

$$y=\frac{14}{9}$$

Skiptu \frac{14}{9} út fyrir y í x=4y+1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=4\times \frac{14}{9}+1$$

Margfaldaðu 4 sinnum \frac{14}{9}.

$$x=\frac{56}{9}+1$$

Leggðu 1 saman við \frac{56}{9}.

$$x=\frac{65}{9}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{65}{9},y=\frac{14}{9}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x-4y=1,2x+y=16$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\16\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-4\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\16\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\16\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\16\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{1-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{1-\left(-4\times 2\right)}&\frac{1}{1-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\16\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{4}{9}\\-\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\16\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}+\frac{4}{9}\times 16\\-\frac{2}{9}+\frac{1}{9}\times 16\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{65}{9}\\\frac{14}{9}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{65}{9},y=\frac{14}{9}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x-4y=1,2x+y=16$$

Til að gera x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$2x+2\left(-4\right)y=2,2x+y=16$$

Einfaldaðu.

$$2x-8y=2,2x+y=16$$

Dragðu 2x+y=16 frá 2x-8y=2 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2x-2x-8y-y=2-16$$

Leggðu 2x saman við -2x. Liðirnir 2x og -2x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-8y-y=2-16$$

Leggðu -8y saman við -y.

$$-9y=2-16$$

Leggðu 2 saman við -16.

$$-9y=-14$$

Deildu báðum hliðum með -9.

$$y=\frac{14}{9}$$

Skiptu \frac{14}{9} út fyrir y í 2x+y=16. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x+\frac{14}{9}=16$$

Dragðu \frac{14}{9} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=\frac{130}{9}$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{65}{9}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{65}{9},y=\frac{14}{9}$$