Leysa {l}{x-3y=4}{5x+3y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 3 y = 4 } \\ { 5 x + 3 y = - 1 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y = -\frac{7}{6} = -1\frac{1}{6} \approx -1.166666667$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x-3y=4,5x+3y=-1$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x-3y=4$$

Leggðu 3y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=3y+4$$

Settu 3y+4 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 5x+3y=-1.

$$5\left(3y+4\right)+3y=-1$$

Margfaldaðu 5 sinnum 3y+4.

$$15y+20+3y=-1$$

Leggðu 15y saman við 3y.

$$18y+20=-1$$

Dragðu 20 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$18y=-21$$

Deildu báðum hliðum með 18.

$$y=-\frac{7}{6}$$

Skiptu -\frac{7}{6} út fyrir y í x=3y+4. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=3\left(-\frac{7}{6}\right)+4$$

Margfaldaðu 3 sinnum -\frac{7}{6}.

$$x=-\frac{7}{2}+4$$

Leggðu 4 saman við -\frac{7}{2}.

$$x=\frac{1}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{1}{2},y=-\frac{7}{6}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x-3y=4,5x+3y=-1$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-3\\5&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{3-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{3-\left(-3\times 5\right)}&\frac{1}{3-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\-\frac{5}{18}&\frac{1}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 4+\frac{1}{6}\left(-1\right)\\-\frac{5}{18}\times 4+\frac{1}{18}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\-\frac{7}{6}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{1}{2},y=-\frac{7}{6}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x-3y=4,5x+3y=-1$$

Til að gera x og 5x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 5 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$5x+5\left(-3\right)y=5\times 4,5x+3y=-1$$

Einfaldaðu.

$$5x-15y=20,5x+3y=-1$$

Dragðu 5x+3y=-1 frá 5x-15y=20 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$5x-5x-15y-3y=20+1$$

Leggðu 5x saman við -5x. Liðirnir 5x og -5x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-15y-3y=20+1$$

Leggðu -15y saman við -3y.

$$-18y=20+1$$

Leggðu 20 saman við 1.

$$-18y=21$$

Deildu báðum hliðum með -18.

$$y=-\frac{7}{6}$$

Skiptu -\frac{7}{6} út fyrir y í 5x+3y=-1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$5x+3\left(-\frac{7}{6}\right)=-1$$

Margfaldaðu 3 sinnum -\frac{7}{6}.

$$5x-\frac{7}{2}=-1$$

Leggðu \frac{7}{2} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5x=\frac{5}{2}$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{1}{2},y=-\frac{7}{6}$$