Leysa {l}{x-3y=-2}{2x+y=10}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 3 y = - 2 } \\ { 2 x + y = 10 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=4$$

$$y=2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x-3y=-2,2x+y=10$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x-3y=-2$$

Leggðu 3y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=3y-2$$

Settu 3y-2 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x+y=10.

$$2\left(3y-2\right)+y=10$$

Margfaldaðu 2 sinnum 3y-2.

$$6y-4+y=10$$

Leggðu 6y saman við y.

$$7y-4=10$$

Leggðu 4 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$7y=14$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í x=3y-2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=3\times 2-2$$

Margfaldaðu 3 sinnum 2.

$$x=6-2$$

Leggðu -2 saman við 6.

$$x=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=4,y=2$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x-3y=-2,2x+y=10$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-3\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{1-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{1-\left(-3\times 2\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{3}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\left(-2\right)+\frac{3}{7}\times 10\\-\frac{2}{7}\left(-2\right)+\frac{1}{7}\times 10\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=4,y=2$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x-3y=-2,2x+y=10$$

Til að gera x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$2x+2\left(-3\right)y=2\left(-2\right),2x+y=10$$

Einfaldaðu.

$$2x-6y=-4,2x+y=10$$

Dragðu 2x+y=10 frá 2x-6y=-4 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2x-2x-6y-y=-4-10$$

Leggðu 2x saman við -2x. Liðirnir 2x og -2x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-6y-y=-4-10$$

Leggðu -6y saman við -y.

$$-7y=-4-10$$

Leggðu -4 saman við -10.

$$-7y=-14$$

Deildu báðum hliðum með -7.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í 2x+y=10. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x+2=10$$

Dragðu 2 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=8$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=4,y=2$$