Leysa {l}{x-2y=1}{2x+2y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 2 y = 1 } \\ { 2 x + 2 y = 5 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=2$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x-2y=1,2x+2y=5$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x-2y=1$$

Leggðu 2y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=2y+1$$

Settu 2y+1 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x+2y=5.

$$2\left(2y+1\right)+2y=5$$

Margfaldaðu 2 sinnum 2y+1.

$$4y+2+2y=5$$

Leggðu 4y saman við 2y.

$$6y+2=5$$

Dragðu 2 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$6y=3$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$y=\frac{1}{2}$$

Skiptu \frac{1}{2} út fyrir y í x=2y+1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=2\times \frac{1}{2}+1$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{1}{2}.

$$x=1+1$$

Leggðu 1 saman við 1.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=\frac{1}{2}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x-2y=1,2x+2y=5$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-2\\2&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{2-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{2-\left(-2\times 2\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\times 5\\-\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\times 5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=2,y=\frac{1}{2}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x-2y=1,2x+2y=5$$

Til að gera x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$2x+2\left(-2\right)y=2,2x+2y=5$$

Einfaldaðu.

$$2x-4y=2,2x+2y=5$$

Dragðu 2x+2y=5 frá 2x-4y=2 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2x-2x-4y-2y=2-5$$

Leggðu 2x saman við -2x. Liðirnir 2x og -2x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-4y-2y=2-5$$

Leggðu -4y saman við -2y.

$$-6y=2-5$$

Leggðu 2 saman við -5.

$$-6y=-3$$

Deildu báðum hliðum með -6.

$$y=\frac{1}{2}$$

Skiptu \frac{1}{2} út fyrir y í 2x+2y=5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x+2\times \frac{1}{2}=5$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{1}{2}.

$$2x+1=5$$

Dragðu 1 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=4$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=\frac{1}{2}$$