Leysa {l}{x(1-2x)-y(1-y)=(y-sqrt{2}x)(y+sqrt{2}x)+3}{2x-(2y-1/4)^2+161/16=(2y+3)(3-2y)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x ( 1 - 2 x ) - y ( 1 - y ) = ( y - \sqrt { 2 } x ) ( y + \sqrt { 2 } x ) + 3 } \\ { 2 x - ( 2 y - \frac { 1 } { 4 } ) ^ { 2 } + 16 \frac { 1 } { 16 } = ( 2 y + 3 ) ( 3 - 2 y ) } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1.333333333$$

$$y = -\frac{13}{3} = -4\frac{1}{3} \approx -4.333333333$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda x með 1-2x.

$$x-2x^{2}-y\left(1-y\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda y með 1-y.

$$x-2x^{2}-\left(y-y^{2}\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

Til að finna andstæðu y-y^{2} skaltu finna andstæðu hvers liðs.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

Íhugaðu \left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right). Hægt er að breyta margföldun í mismun annarra velda með reglunni: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}x\right)^{2}+3$$

Víkka \left(\sqrt{2}x\right)^{2}.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}x^{2}+3$$

\sqrt{2} í öðru veldi er 2.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-2x^{2}+3$$

Dragðu y^{2} frá báðum hliðum.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}-y^{2}=-2x^{2}+3$$

Sameinaðu y^{2} og -y^{2} til að fá 0.

$$x-2x^{2}-y=-2x^{2}+3$$

Bættu 2x^{2} við báðar hliðar.

$$x-2x^{2}-y+2x^{2}=3$$

Sameinaðu -2x^{2} og 2x^{2} til að fá 0.

$$x-y=3$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 16.

$$16\left(2x-\left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Notaðu tvíliðusetninguna \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til að stækka \left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2}.

$$16\left(2x-\left(4y^{2}-y+\frac{1}{16}\right)\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Til að finna andstæðu 4y^{2}-y+\frac{1}{16} skaltu finna andstæðu hvers liðs.

$$16\left(2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 16 með 2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16}.

$$32x-64y^{2}+16y-1+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Margfaldaðu 16 og 16 til að fá út 256.

$$32x-64y^{2}+16y-1+256+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Leggðu saman -1 og 256 til að fá 255.

$$32x-64y^{2}+16y+255+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Leggðu saman 255 og 1 til að fá 256.

$$32x-64y^{2}+16y+256=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 16 með 2y+3.

$$32x-64y^{2}+16y+256=\left(32y+48\right)\left(3-2y\right)$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 32y+48 með 3-2y og sameina svipuð hugtök.

$$32x-64y^{2}+16y+256=-64y^{2}+144$$

Bættu 64y^{2} við báðar hliðar.

$$32x-64y^{2}+16y+256+64y^{2}=144$$

Sameinaðu -64y^{2} og 64y^{2} til að fá 0.

$$32x+16y+256=144$$

Dragðu 256 frá báðum hliðum.

$$32x+16y=144-256$$

Dragðu 256 frá 144 til að fá út -112.

$$32x+16y=-112$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x-y=3,32x+16y=-112$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x-y=3$$

Leggðu y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=y+3$$

Settu y+3 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 32x+16y=-112.

$$32\left(y+3\right)+16y=-112$$

Margfaldaðu 32 sinnum y+3.

$$32y+96+16y=-112$$

Leggðu 32y saman við 16y.

$$48y+96=-112$$

Dragðu 96 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$48y=-208$$

Deildu báðum hliðum með 48.

$$y=-\frac{13}{3}$$

Skiptu -\frac{13}{3} út fyrir y í x=y+3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{13}{3}+3$$

Leggðu 3 saman við -\frac{13}{3}.

$$x=-\frac{4}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{4}{3},y=-\frac{13}{3}$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda x með 1-2x.

$$x-2x^{2}-y\left(1-y\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda y með 1-y.

$$x-2x^{2}-\left(y-y^{2}\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

Til að finna andstæðu y-y^{2} skaltu finna andstæðu hvers liðs.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

Íhugaðu \left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right). Hægt er að breyta margföldun í mismun annarra velda með reglunni: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}x\right)^{2}+3$$

Víkka \left(\sqrt{2}x\right)^{2}.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}x^{2}+3$$

\sqrt{2} í öðru veldi er 2.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-2x^{2}+3$$

Dragðu y^{2} frá báðum hliðum.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}-y^{2}=-2x^{2}+3$$

Sameinaðu y^{2} og -y^{2} til að fá 0.

$$x-2x^{2}-y=-2x^{2}+3$$

Bættu 2x^{2} við báðar hliðar.

$$x-2x^{2}-y+2x^{2}=3$$

Sameinaðu -2x^{2} og 2x^{2} til að fá 0.

$$x-y=3$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 16.

$$16\left(2x-\left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Notaðu tvíliðusetninguna \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til að stækka \left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2}.

$$16\left(2x-\left(4y^{2}-y+\frac{1}{16}\right)\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Til að finna andstæðu 4y^{2}-y+\frac{1}{16} skaltu finna andstæðu hvers liðs.

$$16\left(2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 16 með 2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16}.

$$32x-64y^{2}+16y-1+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Margfaldaðu 16 og 16 til að fá út 256.

$$32x-64y^{2}+16y-1+256+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Leggðu saman -1 og 256 til að fá 255.

$$32x-64y^{2}+16y+255+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Leggðu saman 255 og 1 til að fá 256.

$$32x-64y^{2}+16y+256=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 16 með 2y+3.

$$32x-64y^{2}+16y+256=\left(32y+48\right)\left(3-2y\right)$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 32y+48 með 3-2y og sameina svipuð hugtök.

$$32x-64y^{2}+16y+256=-64y^{2}+144$$

Bættu 64y^{2} við báðar hliðar.

$$32x-64y^{2}+16y+256+64y^{2}=144$$

Sameinaðu -64y^{2} og 64y^{2} til að fá 0.

$$32x+16y+256=144$$

Dragðu 256 frá báðum hliðum.

$$32x+16y=144-256$$

Dragðu 256 frá 144 til að fá út -112.

$$32x+16y=-112$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x-y=3,32x+16y=-112$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{16-\left(-32\right)}&-\frac{-1}{16-\left(-32\right)}\\-\frac{32}{16-\left(-32\right)}&\frac{1}{16-\left(-32\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{48}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{48}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 3+\frac{1}{48}\left(-112\right)\\-\frac{2}{3}\times 3+\frac{1}{48}\left(-112\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3}\\-\frac{13}{3}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-\frac{4}{3},y=-\frac{13}{3}$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda x með 1-2x.

$$x-2x^{2}-y\left(1-y\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda y með 1-y.

$$x-2x^{2}-\left(y-y^{2}\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

Til að finna andstæðu y-y^{2} skaltu finna andstæðu hvers liðs.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

Íhugaðu \left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right). Hægt er að breyta margföldun í mismun annarra velda með reglunni: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}x\right)^{2}+3$$

Víkka \left(\sqrt{2}x\right)^{2}.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}x^{2}+3$$

\sqrt{2} í öðru veldi er 2.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-2x^{2}+3$$

Dragðu y^{2} frá báðum hliðum.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}-y^{2}=-2x^{2}+3$$

Sameinaðu y^{2} og -y^{2} til að fá 0.

$$x-2x^{2}-y=-2x^{2}+3$$

Bættu 2x^{2} við báðar hliðar.

$$x-2x^{2}-y+2x^{2}=3$$

Sameinaðu -2x^{2} og 2x^{2} til að fá 0.

$$x-y=3$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 16.

$$16\left(2x-\left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Notaðu tvíliðusetninguna \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til að stækka \left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2}.

$$16\left(2x-\left(4y^{2}-y+\frac{1}{16}\right)\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Til að finna andstæðu 4y^{2}-y+\frac{1}{16} skaltu finna andstæðu hvers liðs.

$$16\left(2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 16 með 2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16}.

$$32x-64y^{2}+16y-1+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Margfaldaðu 16 og 16 til að fá út 256.

$$32x-64y^{2}+16y-1+256+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Leggðu saman -1 og 256 til að fá 255.

$$32x-64y^{2}+16y+255+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Leggðu saman 255 og 1 til að fá 256.

$$32x-64y^{2}+16y+256=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 16 með 2y+3.

$$32x-64y^{2}+16y+256=\left(32y+48\right)\left(3-2y\right)$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 32y+48 með 3-2y og sameina svipuð hugtök.

$$32x-64y^{2}+16y+256=-64y^{2}+144$$

Bættu 64y^{2} við báðar hliðar.

$$32x-64y^{2}+16y+256+64y^{2}=144$$

Sameinaðu -64y^{2} og 64y^{2} til að fá 0.

$$32x+16y+256=144$$

Dragðu 256 frá báðum hliðum.

$$32x+16y=144-256$$

Dragðu 256 frá 144 til að fá út -112.

$$32x+16y=-112$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x-y=3,32x+16y=-112$$

Til að gera x og 32x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 32 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$32x+32\left(-1\right)y=32\times 3,32x+16y=-112$$

Einfaldaðu.

$$32x-32y=96,32x+16y=-112$$

Dragðu 32x+16y=-112 frá 32x-32y=96 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$32x-32x-32y-16y=96+112$$

Leggðu 32x saman við -32x. Liðirnir 32x og -32x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-32y-16y=96+112$$

Leggðu -32y saman við -16y.

$$-48y=96+112$$

Leggðu 96 saman við 112.

$$-48y=208$$

Deildu báðum hliðum með -48.

$$y=-\frac{13}{3}$$

Skiptu -\frac{13}{3} út fyrir y í 32x+16y=-112. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$32x+16\left(-\frac{13}{3}\right)=-112$$

Margfaldaðu 16 sinnum -\frac{13}{3}.

$$32x-\frac{208}{3}=-112$$

Leggðu \frac{208}{3} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$32x=-\frac{128}{3}$$

Deildu báðum hliðum með 32.

$$x=-\frac{4}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{4}{3},y=-\frac{13}{3}$$