Leysa {l}{x^2+y^2=3}{x+y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 3 } \\ { x + y = 1 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\approx 1.618033989\text{, }y=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0.618033989$$

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0.618033989\text{, }y=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\approx 1.618033989$$

Skref með innsetningu og annars stigs formúlu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+y=1,y^{2}+x^{2}=3$$

Leystu x+y=1 fyrir x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+y=1$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-y+1$$

Settu -y+1 inn fyrir x í hinni jöfnunni, y^{2}+x^{2}=3.

$$y^{2}+\left(-y+1\right)^{2}=3$$

Hefðu -y+1 í annað veldi.

$$y^{2}+y^{2}-2y+1=3$$

Leggðu y^{2} saman við y^{2}.

$$2y^{2}-2y+1=3$$

Dragðu 3 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2y^{2}-2y-2=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 1+1\left(-1\right)^{2} inn fyrir a, 1\times 1\left(-1\right)\times 2 inn fyrir b og -2 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-2\right)}}{2\times 2}$$

Hefðu 1\times 1\left(-1\right)\times 2 í annað veldi.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-2\right)}}{2\times 2}$$

Margfaldaðu -4 sinnum 1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-2\right)}}{2\times 2}$$

Margfaldaðu -8 sinnum -2.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+16}}{2\times 2}$$

Leggðu 4 saman við 16.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{20}}{2\times 2}$$

Finndu kvaðratrót 20.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{5}}{2\times 2}$$

Gagnstæð tala tölunnar 1\times 1\left(-1\right)\times 2 er 2.

$$y=\frac{2±2\sqrt{5}}{2\times 2}$$

Margfaldaðu 2 sinnum 1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{2±2\sqrt{5}}{4}$$

Leystu nú jöfnuna y=\frac{2±2\sqrt{5}}{4} þegar ± er plús. Leggðu 2 saman við 2\sqrt{5}.

$$y=\frac{2\sqrt{5}+2}{4}$$

Deildu 2+2\sqrt{5} með 4.

$$y=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Leystu nú jöfnuna y=\frac{2±2\sqrt{5}}{4} þegar ± er mínus. Dragðu 2\sqrt{5} frá 2.

$$y=\frac{2-2\sqrt{5}}{4}$$

Deildu 2-2\sqrt{5} með 4.

$$y=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Hægt er að leysa y á tvenna vegu: \frac{1+\sqrt{5}}{2} og \frac{1-\sqrt{5}}{2}. Skiptu \frac{1+\sqrt{5}}{2} út fyrir y í jöfnunni x=-y+1 til að finna samsvarandi lausn fyrir x sem uppfyllir báðar jöfnur.

$$x=-\frac{\sqrt{5}+1}{2}+1$$

Settu núna \frac{1-\sqrt{5}}{2} inn fyrir y í jöfnunni x=-y+1 og leystu hana til að finna samsvarandi lausn fyrir x sem uppfyllir báðar jöfnur.

$$x=-\frac{1-\sqrt{5}}{2}+1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{\sqrt{5}+1}{2}+1,y=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\text{ or }x=-\frac{1-\sqrt{5}}{2}+1,y=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$