Leysa {l}{x=y-5}{1/3x=2(y-5)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = y - 5 } \\ { \frac { 1 } { 3 } x = 2 ( y - 5 ) } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=0$$

$$y=5$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu y frá báðum hliðum.

$$x-y=-5$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 2 með y-5.

$$\frac{1}{3}x=2y-10$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum.

$$\frac{1}{3}x-2y=-10$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x-y=-5,\frac{1}{3}x-2y=-10$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x-y=-5$$

Leggðu y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=y-5$$

Settu y-5 inn fyrir x í hinni jöfnunni, \frac{1}{3}x-2y=-10.

$$\frac{1}{3}\left(y-5\right)-2y=-10$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum y-5.

$$\frac{1}{3}y-\frac{5}{3}-2y=-10$$

Leggðu \frac{y}{3} saman við -2y.

$$-\frac{5}{3}y-\frac{5}{3}=-10$$

Leggðu \frac{5}{3} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-\frac{5}{3}y=-\frac{25}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{5}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=5$$

Skiptu 5 út fyrir y í x=y-5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=5-5$$

Leggðu -5 saman við 5.

$$x=0$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=0,y=5$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu y frá báðum hliðum.

$$x-y=-5$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 2 með y-5.

$$\frac{1}{3}x=2y-10$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum.

$$\frac{1}{3}x-2y=-10$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x-y=-5,\frac{1}{3}x-2y=-10$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{3}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{3}&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{3}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-10\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-10\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-1}{-2-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{\frac{1}{3}}{-2-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{-2-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-10\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}&-\frac{3}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}\left(-5\right)-\frac{3}{5}\left(-10\right)\\\frac{1}{5}\left(-5\right)-\frac{3}{5}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=0,y=5$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu y frá báðum hliðum.

$$x-y=-5$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 2 með y-5.

$$\frac{1}{3}x=2y-10$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum.

$$\frac{1}{3}x-2y=-10$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x-y=-5,\frac{1}{3}x-2y=-10$$

Til að gera x og \frac{x}{3} jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með \frac{1}{3} og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}\left(-1\right)y=\frac{1}{3}\left(-5\right),\frac{1}{3}x-2y=-10$$

Einfaldaðu.

$$\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}y=-\frac{5}{3},\frac{1}{3}x-2y=-10$$

Dragðu \frac{1}{3}x-2y=-10 frá \frac{1}{3}x-\frac{1}{3}y=-\frac{5}{3} með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}y+2y=-\frac{5}{3}+10$$

Leggðu \frac{x}{3} saman við -\frac{x}{3}. Liðirnir \frac{x}{3} og -\frac{x}{3} núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-\frac{1}{3}y+2y=-\frac{5}{3}+10$$

Leggðu -\frac{y}{3} saman við 2y.

$$\frac{5}{3}y=-\frac{5}{3}+10$$

Leggðu -\frac{5}{3} saman við 10.

$$\frac{5}{3}y=\frac{25}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{5}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=5$$

Skiptu 5 út fyrir y í \frac{1}{3}x-2y=-10. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$\frac{1}{3}x-2\times 5=-10$$

Margfaldaðu -2 sinnum 5.

$$\frac{1}{3}x-10=-10$$

Leggðu 10 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{1}{3}x=0$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 3.

$$x=0$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=0,y=5$$