Leysa {l}{x=y+3}{7x-5y=19}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = y + 3 } \\ { 7 x - 5 y = 19 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=2$$

$$y=-1$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu y frá báðum hliðum.

$$x-y=3$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x-y=3,7x-5y=19$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x-y=3$$

Leggðu y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=y+3$$

Settu y+3 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 7x-5y=19.

$$7\left(y+3\right)-5y=19$$

Margfaldaðu 7 sinnum y+3.

$$7y+21-5y=19$$

Leggðu 7y saman við -5y.

$$2y+21=19$$

Dragðu 21 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2y=-2$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$y=-1$$

Skiptu -1 út fyrir y í x=y+3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-1+3$$

Leggðu 3 saman við -1.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=-1$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu y frá báðum hliðum.

$$x-y=3$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x-y=3,7x-5y=19$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\7&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\19\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-1\\7&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\7&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\7&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\7&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\19\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\7&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\19\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\7&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\19\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-5-\left(-7\right)}&-\frac{-1}{-5-\left(-7\right)}\\-\frac{7}{-5-\left(-7\right)}&\frac{1}{-5-\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\19\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{7}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\19\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\times 3+\frac{1}{2}\times 19\\-\frac{7}{2}\times 3+\frac{1}{2}\times 19\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=2,y=-1$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu y frá báðum hliðum.

$$x-y=3$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x-y=3,7x-5y=19$$

Til að gera x og 7x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 7 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$7x+7\left(-1\right)y=7\times 3,7x-5y=19$$

Einfaldaðu.

$$7x-7y=21,7x-5y=19$$

Dragðu 7x-5y=19 frá 7x-7y=21 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$7x-7x-7y+5y=21-19$$

Leggðu 7x saman við -7x. Liðirnir 7x og -7x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-7y+5y=21-19$$

Leggðu -7y saman við 5y.

$$-2y=21-19$$

Leggðu 21 saman við -19.

$$-2y=2$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$y=-1$$

Skiptu -1 út fyrir y í 7x-5y=19. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$7x-5\left(-1\right)=19$$

Margfaldaðu -5 sinnum -1.

$$7x+5=19$$

Dragðu 5 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$7x=14$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=-1$$