Leysa {l}{x=3y+2}{x+3y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 3 y + 2 } \\ { x + 3 y = 8 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=5$$

$$y=1$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 3y frá báðum hliðum.

$$x-3y=2$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x-3y=2,x+3y=8$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x-3y=2$$

Leggðu 3y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=3y+2$$

Settu 3y+2 inn fyrir x í hinni jöfnunni, x+3y=8.

$$3y+2+3y=8$$

Leggðu 3y saman við 3y.

$$6y+2=8$$

Dragðu 2 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$6y=6$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$y=1$$

Skiptu 1 út fyrir y í x=3y+2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=3+2$$

Leggðu 2 saman við 3.

$$x=5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=5,y=1$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 3y frá báðum hliðum.

$$x-3y=2$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x-3y=2,x+3y=8$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{3-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-3\right)}&\frac{1}{3-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 2+\frac{1}{2}\times 8\\-\frac{1}{6}\times 2+\frac{1}{6}\times 8\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=5,y=1$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 3y frá báðum hliðum.

$$x-3y=2$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x-3y=2,x+3y=8$$

Dragðu x+3y=8 frá x-3y=2 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$x-x-3y-3y=2-8$$

Leggðu x saman við -x. Liðirnir x og -x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-3y-3y=2-8$$

Leggðu -3y saman við -3y.

$$-6y=2-8$$

Leggðu 2 saman við -8.

$$-6y=-6$$

Deildu báðum hliðum með -6.

$$y=1$$

Skiptu 1 út fyrir y í x+3y=8. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x+3=8$$

Dragðu 3 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=5,y=1$$