Leysa {l}{x=2y}{y=3x-10}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 2 y } \\ { y = 3 x - 10 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=4$$

$$y=2$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 2y frá báðum hliðum.

$$x-2y=0$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 3x frá báðum hliðum.

$$y-3x=-10$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x-2y=0,-3x+y=-10$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x-2y=0$$

Leggðu 2y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=2y$$

Settu 2y inn fyrir x í hinni jöfnunni, -3x+y=-10.

$$-3\times 2y+y=-10$$

Margfaldaðu -3 sinnum 2y.

$$-6y+y=-10$$

Leggðu -6y saman við y.

$$-5y=-10$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í x=2y. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=2\times 2$$

Margfaldaðu 2 sinnum 2.

$$x=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=4,y=2$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 2y frá báðum hliðum.

$$x-2y=0$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 3x frá báðum hliðum.

$$y-3x=-10$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x-2y=0,-3x+y=-10$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-2\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-10\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-10\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\left(-3\right)\right)}&-\frac{-2}{1-\left(-2\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{1-\left(-2\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-10\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\\-\frac{3}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\left(-10\right)\\-\frac{1}{5}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=4,y=2$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 2y frá báðum hliðum.

$$x-2y=0$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 3x frá báðum hliðum.

$$y-3x=-10$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x-2y=0,-3x+y=-10$$

Til að gera x og -3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$-3x-3\left(-2\right)y=0,-3x+y=-10$$

Einfaldaðu.

$$-3x+6y=0,-3x+y=-10$$

Dragðu -3x+y=-10 frá -3x+6y=0 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-3x+3x+6y-y=10$$

Leggðu -3x saman við 3x. Liðirnir -3x og 3x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$6y-y=10$$

Leggðu 6y saman við -y.

$$5y=10$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í -3x+y=-10. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-3x+2=-10$$

Dragðu 2 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-3x=-12$$

Deildu báðum hliðum með -3.

$$x=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=4,y=2$$