Leysa {l}{x=-1/4y+5}{3x+2y=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = - \frac { 1 } { 4 } y + 5 } \\ { 3 x + 2 y = 0 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=8$$

$$y=-12$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Bættu \frac{1}{4}y við báðar hliðar.

$$x+\frac{1}{4}y=5$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+\frac{1}{4}y=5,3x+2y=0$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+\frac{1}{4}y=5$$

Dragðu \frac{y}{4} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-\frac{1}{4}y+5$$

Settu -\frac{y}{4}+5 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x+2y=0.

$$3\left(-\frac{1}{4}y+5\right)+2y=0$$

Margfaldaðu 3 sinnum -\frac{y}{4}+5.

$$-\frac{3}{4}y+15+2y=0$$

Leggðu -\frac{3y}{4} saman við 2y.

$$\frac{5}{4}y+15=0$$

Dragðu 15 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{5}{4}y=-15$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{5}{4}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-12$$

Skiptu -12 út fyrir y í x=-\frac{1}{4}y+5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-12\right)+5$$

Margfaldaðu -\frac{1}{4} sinnum -12.

$$x=3+5$$

Leggðu 5 saman við 3.

$$x=8$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=8,y=-12$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Bættu \frac{1}{4}y við báðar hliðar.

$$x+\frac{1}{4}y=5$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+\frac{1}{4}y=5,3x+2y=0$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\frac{1}{4}\times 3}&-\frac{\frac{1}{4}}{2-\frac{1}{4}\times 3}\\-\frac{3}{2-\frac{1}{4}\times 3}&\frac{1}{2-\frac{1}{4}\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{12}{5}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5}\times 5\\-\frac{12}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-12\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=8,y=-12$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Bættu \frac{1}{4}y við báðar hliðar.

$$x+\frac{1}{4}y=5$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+\frac{1}{4}y=5,3x+2y=0$$

Til að gera x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$3x+3\times \frac{1}{4}y=3\times 5,3x+2y=0$$

Einfaldaðu.

$$3x+\frac{3}{4}y=15,3x+2y=0$$

Dragðu 3x+2y=0 frá 3x+\frac{3}{4}y=15 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$3x-3x+\frac{3}{4}y-2y=15$$

Leggðu 3x saman við -3x. Liðirnir 3x og -3x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$\frac{3}{4}y-2y=15$$

Leggðu \frac{3y}{4} saman við -2y.

$$-\frac{5}{4}y=15$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{5}{4}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-12$$

Skiptu -12 út fyrir y í 3x+2y=0. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x+2\left(-12\right)=0$$

Margfaldaðu 2 sinnum -12.

$$3x-24=0$$

Leggðu 24 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=24$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=8$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=8,y=-12$$