Leysa {l}{x=3/4y}{y=8/9x-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = \frac { 3 } { 4 } y } \\ { y = \frac { 8 } { 9 } x - 4 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-9$$

$$y=-12$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu \frac{3}{4}y frá báðum hliðum.

$$x-\frac{3}{4}y=0$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu \frac{8}{9}x frá báðum hliðum.

$$y-\frac{8}{9}x=-4$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x-\frac{3}{4}y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x-\frac{3}{4}y=0$$

Leggðu \frac{3y}{4} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=\frac{3}{4}y$$

Settu \frac{3y}{4} inn fyrir x í hinni jöfnunni, -\frac{8}{9}x+y=-4.

$$-\frac{8}{9}\times \frac{3}{4}y+y=-4$$

Margfaldaðu -\frac{8}{9} sinnum \frac{3y}{4}.

$$-\frac{2}{3}y+y=-4$$

Leggðu -\frac{2y}{3} saman við y.

$$\frac{1}{3}y=-4$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 3.

$$y=-12$$

Skiptu -12 út fyrir y í x=\frac{3}{4}y. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{3}{4}\left(-12\right)$$

Margfaldaðu \frac{3}{4} sinnum -12.

$$x=-9$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-9,y=-12$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu \frac{3}{4}y frá báðum hliðum.

$$x-\frac{3}{4}y=0$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu \frac{8}{9}x frá báðum hliðum.

$$y-\frac{8}{9}x=-4$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x-\frac{3}{4}y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfan \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-\frac{3}{4}\left(-\frac{8}{9}\right)\right)}&-\frac{-\frac{3}{4}}{1-\left(-\frac{3}{4}\left(-\frac{8}{9}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{8}{9}}{1-\left(-\frac{3}{4}\left(-\frac{8}{9}\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-\frac{3}{4}\left(-\frac{8}{9}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&\frac{9}{4}\\\frac{8}{3}&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{4}\left(-4\right)\\3\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-12\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-9,y=-12$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu \frac{3}{4}y frá báðum hliðum.

$$x-\frac{3}{4}y=0$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu \frac{8}{9}x frá báðum hliðum.

$$y-\frac{8}{9}x=-4$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x-\frac{3}{4}y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

Til að gera x og -\frac{8x}{9} jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -\frac{8}{9} og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$-\frac{8}{9}x-\frac{8}{9}\left(-\frac{3}{4}\right)y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

Einfaldaðu.

$$-\frac{8}{9}x+\frac{2}{3}y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

Dragðu -\frac{8}{9}x+y=-4 frá -\frac{8}{9}x+\frac{2}{3}y=0 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-\frac{8}{9}x+\frac{8}{9}x+\frac{2}{3}y-y=4$$

Leggðu -\frac{8x}{9} saman við \frac{8x}{9}. Liðirnir -\frac{8x}{9} og \frac{8x}{9} núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$\frac{2}{3}y-y=4$$

Leggðu \frac{2y}{3} saman við -y.

$$-\frac{1}{3}y=4$$

Margfaldaðu báðar hliðar með -3.

$$y=-12$$

Skiptu -12 út fyrir y í -\frac{8}{9}x+y=-4. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-\frac{8}{9}x-12=-4$$

Leggðu 12 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-\frac{8}{9}x=8$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{8}{9}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=-9$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-9,y=-12$$