Leysa {l}{x+y-1=3}{3x+y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y - 1 = 3 } \\ { 3 x + y = 2 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-1$$

$$y=5$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+y-1=3,3x+y=2$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+y-1=3$$

Leggðu 1 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x+y=4$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-y+4$$

Settu -y+4 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x+y=2.

$$3\left(-y+4\right)+y=2$$

Margfaldaðu 3 sinnum -y+4.

$$-3y+12+y=2$$

Leggðu -3y saman við y.

$$-2y+12=2$$

Dragðu 12 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-2y=-10$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$y=5$$

Skiptu 5 út fyrir y í x=-y+4. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-5+4$$

Leggðu 4 saman við -5.

$$x=-1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-1,y=5$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+y-1=3,3x+y=2$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3}&-\frac{1}{1-3}\\-\frac{3}{1-3}&\frac{1}{1-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 4+\frac{1}{2}\times 2\\\frac{3}{2}\times 4-\frac{1}{2}\times 2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-1,y=5$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+y-1=3,3x+y=2$$

Dragðu 3x+y=2 frá x+y-1=3 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$x-3x+y-y-1=3-2$$

Leggðu y saman við -y. Liðirnir y og -y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$x-3x-1=3-2$$

Leggðu x saman við -3x.

$$-2x-1=3-2$$

Leggðu 3 saman við -2.

$$-2x-1=1$$

Leggðu 1 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-2x=2$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$x=-1$$

Skiptu -1 út fyrir x í 3x+y=2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$3\left(-1\right)+y=2$$

Margfaldaðu 3 sinnum -1.

$$-3+y=2$$

Leggðu 3 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$y=5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-1,y=5$$