Leysa {l}{x+y=7}{-4x+y=-3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 7 } \\ { - 4 x + y = - 3 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=2$$

$$y=5$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+y=7,-4x+y=-3$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+y=7$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-y+7$$

Settu -y+7 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -4x+y=-3.

$$-4\left(-y+7\right)+y=-3$$

Margfaldaðu -4 sinnum -y+7.

$$4y-28+y=-3$$

Leggðu 4y saman við y.

$$5y-28=-3$$

Leggðu 28 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5y=25$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$y=5$$

Skiptu 5 út fyrir y í x=-y+7. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-5+7$$

Leggðu 7 saman við -5.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=5$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+y=7,-4x+y=-3$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&1\\-4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-3\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-4\right)}&-\frac{1}{1-\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{1-\left(-4\right)}&\frac{1}{1-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\\\frac{4}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 7-\frac{1}{5}\left(-3\right)\\\frac{4}{5}\times 7+\frac{1}{5}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=2,y=5$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+y=7,-4x+y=-3$$

Dragðu -4x+y=-3 frá x+y=7 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$x+4x+y-y=7+3$$

Leggðu y saman við -y. Liðirnir y og -y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$x+4x=7+3$$

Leggðu x saman við 4x.

$$5x=7+3$$

Leggðu 7 saman við 3.

$$5x=10$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=2$$

Skiptu 2 út fyrir x í -4x+y=-3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$-4\times 2+y=-3$$

Margfaldaðu -4 sinnum 2.

$$-8+y=-3$$

Leggðu 8 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$y=5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=5$$