Leysa {l}{x+y=6}{2x-2y=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 6 } \\ { 2 x - 2 y = 4 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=4$$

$$y=2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+y=6,2x-2y=4$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+y=6$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-y+6$$

Settu -y+6 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x-2y=4.

$$2\left(-y+6\right)-2y=4$$

Margfaldaðu 2 sinnum -y+6.

$$-2y+12-2y=4$$

Leggðu -2y saman við -2y.

$$-4y+12=4$$

Dragðu 12 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-4y=-8$$

Deildu báðum hliðum með -4.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í x=-y+6. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-2+6$$

Leggðu 6 saman við -2.

$$x=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=4,y=2$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+y=6,2x-2y=4$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&1\\2&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-2}&-\frac{1}{-2-2}\\-\frac{2}{-2-2}&\frac{1}{-2-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 6+\frac{1}{4}\times 4\\\frac{1}{2}\times 6-\frac{1}{4}\times 4\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=4,y=2$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+y=6,2x-2y=4$$

Til að gera x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$2x+2y=2\times 6,2x-2y=4$$

Einfaldaðu.

$$2x+2y=12,2x-2y=4$$

Dragðu 2x-2y=4 frá 2x+2y=12 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2x-2x+2y+2y=12-4$$

Leggðu 2x saman við -2x. Liðirnir 2x og -2x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$2y+2y=12-4$$

Leggðu 2y saman við 2y.

$$4y=12-4$$

Leggðu 12 saman við -4.

$$4y=8$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í 2x-2y=4. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x-2\times 2=4$$

Margfaldaðu -2 sinnum 2.

$$2x-4=4$$

Leggðu 4 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=8$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=4,y=2$$