Leysa {l}{x+y=5}{3x+4y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 5 } \\ { 3 x + 4 y = 3 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=17$$

$$y=-12$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+y=5,3x+4y=3$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+y=5$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-y+5$$

Settu -y+5 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x+4y=3.

$$3\left(-y+5\right)+4y=3$$

Margfaldaðu 3 sinnum -y+5.

$$-3y+15+4y=3$$

Leggðu -3y saman við 4y.

$$y+15=3$$

Dragðu 15 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$y=-12$$

Skiptu -12 út fyrir y í x=-y+5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\left(-12\right)+5$$

Margfaldaðu -1 sinnum -12.

$$x=12+5$$

Leggðu 5 saman við 12.

$$x=17$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=17,y=-12$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+y=5,3x+4y=3$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&1\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-3}&-\frac{1}{4-3}\\-\frac{3}{4-3}&\frac{1}{4-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4&-1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\times 5-3\\-3\times 5+3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\-12\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=17,y=-12$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+y=5,3x+4y=3$$

Til að gera x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$3x+3y=3\times 5,3x+4y=3$$

Einfaldaðu.

$$3x+3y=15,3x+4y=3$$

Dragðu 3x+4y=3 frá 3x+3y=15 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$3x-3x+3y-4y=15-3$$

Leggðu 3x saman við -3x. Liðirnir 3x og -3x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$3y-4y=15-3$$

Leggðu 3y saman við -4y.

$$-y=15-3$$

Leggðu 15 saman við -3.

$$-y=12$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$y=-12$$

Skiptu -12 út fyrir y í 3x+4y=3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x+4\left(-12\right)=3$$

Margfaldaðu 4 sinnum -12.

$$3x-48=3$$

Leggðu 48 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=51$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=17$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=17,y=-12$$