Leysa {l}{x+y=40}{y+2=2x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 40 } \\ { y + 2 = 2 x } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=14$$

$$y=26$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 2x frá báðum hliðum.

$$y+2-2x=0$$

Dragðu 2 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$y-2x=-2$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+y=40,-2x+y=-2$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+y=40$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-y+40$$

Settu -y+40 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -2x+y=-2.

$$-2\left(-y+40\right)+y=-2$$

Margfaldaðu -2 sinnum -y+40.

$$2y-80+y=-2$$

Leggðu 2y saman við y.

$$3y-80=-2$$

Leggðu 80 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3y=78$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$y=26$$

Skiptu 26 út fyrir y í x=-y+40. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-26+40$$

Leggðu 40 saman við -26.

$$x=14$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=14,y=26$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 2x frá báðum hliðum.

$$y+2-2x=0$$

Dragðu 2 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$y-2x=-2$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+y=40,-2x+y=-2$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\-2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\right)}&-\frac{1}{1-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{1-\left(-2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\-2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 40-\frac{1}{3}\left(-2\right)\\\frac{2}{3}\times 40+\frac{1}{3}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\26\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=14,y=26$$

Skref með útilokun

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 2x frá báðum hliðum.

$$y+2-2x=0$$

Dragðu 2 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$y-2x=-2$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+y=40,-2x+y=-2$$

Dragðu -2x+y=-2 frá x+y=40 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$x+2x+y-y=40+2$$

Leggðu y saman við -y. Liðirnir y og -y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$x+2x=40+2$$

Leggðu x saman við 2x.

$$3x=40+2$$

Leggðu 40 saman við 2.

$$3x=42$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=14$$

Skiptu 14 út fyrir x í -2x+y=-2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$-2\times 14+y=-2$$

Margfaldaðu -2 sinnum 14.

$$-28+y=-2$$

Leggðu 28 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$y=26$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=14,y=26$$