Leysa {l}{x+y=4}{3x-3y=12}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 4 } \\ { 3 x - 3 y = 12 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=4$$

$$y=0$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+y=4,3x-3y=12$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+y=4$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-y+4$$

Settu -y+4 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x-3y=12.

$$3\left(-y+4\right)-3y=12$$

Margfaldaðu 3 sinnum -y+4.

$$-3y+12-3y=12$$

Leggðu -3y saman við -3y.

$$-6y+12=12$$

Dragðu 12 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-6y=0$$

Deildu báðum hliðum með -6.

$$y=0$$

Skiptu 0 út fyrir y í x=-y+4. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=4,y=0$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+y=4,3x-3y=12$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\3&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&1\\3&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\3&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-3}&-\frac{1}{-3-3}\\-\frac{3}{-3-3}&\frac{1}{-3-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{6}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 4+\frac{1}{6}\times 12\\\frac{1}{2}\times 4-\frac{1}{6}\times 12\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\0\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=4,y=0$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+y=4,3x-3y=12$$

Til að gera x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$3x+3y=3\times 4,3x-3y=12$$

Einfaldaðu.

$$3x+3y=12,3x-3y=12$$

Dragðu 3x-3y=12 frá 3x+3y=12 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$3x-3x+3y+3y=12-12$$

Leggðu 3x saman við -3x. Liðirnir 3x og -3x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$3y+3y=12-12$$

Leggðu 3y saman við 3y.

$$6y=12-12$$

Leggðu 12 saman við -12.

$$6y=0$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$y=0$$

Skiptu 0 út fyrir y í 3x-3y=12. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x=12$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=4,y=0$$