Leysa {l}{x+y=300}{2y-x=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 300 } \\ { 2 y - x = 1 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{599}{3} = 199\frac{2}{3} \approx 199.666666667$$

$$y = \frac{301}{3} = 100\frac{1}{3} \approx 100.333333333$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+y=300,-x+2y=1$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+y=300$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-y+300$$

Settu -y+300 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -x+2y=1.

$$-\left(-y+300\right)+2y=1$$

Margfaldaðu -1 sinnum -y+300.

$$y-300+2y=1$$

Leggðu y saman við 2y.

$$3y-300=1$$

Leggðu 300 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3y=301$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$y=\frac{301}{3}$$

Skiptu \frac{301}{3} út fyrir y í x=-y+300. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{301}{3}+300$$

Leggðu 300 saman við -\frac{301}{3}.

$$x=\frac{599}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{599}{3},y=\frac{301}{3}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+y=300,-x+2y=1$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}300\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&1\\-1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}300\\1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}300\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}300\\1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-1\right)}&-\frac{1}{2-\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{2-\left(-1\right)}&\frac{1}{2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}300\\1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}300\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 300-\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}\times 300+\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{599}{3}\\\frac{301}{3}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{599}{3},y=\frac{301}{3}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+y=300,-x+2y=1$$

Til að gera x og -x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$-x-y=-300,-x+2y=1$$

Dragðu -x+2y=1 frá -x-y=-300 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-x+x-y-2y=-300-1$$

Leggðu -x saman við x. Liðirnir -x og x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-y-2y=-300-1$$

Leggðu -y saman við -2y.

$$-3y=-300-1$$

Leggðu -300 saman við -1.

$$-3y=-301$$

Deildu báðum hliðum með -3.

$$y=\frac{301}{3}$$

Skiptu \frac{301}{3} út fyrir y í -x+2y=1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-x+2\times \frac{301}{3}=1$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{301}{3}.

$$-x+\frac{602}{3}=1$$

Dragðu \frac{602}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-x=-\frac{599}{3}$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$x=\frac{599}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{599}{3},y=\frac{301}{3}$$