Leysa {l}{x+y=30}{20x+25y=690}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 30 } \\ { 20 x + 25 y = 690 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=12$$

$$y=18$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+y=30,20x+25y=690$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+y=30$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-y+30$$

Settu -y+30 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 20x+25y=690.

$$20\left(-y+30\right)+25y=690$$

Margfaldaðu 20 sinnum -y+30.

$$-20y+600+25y=690$$

Leggðu -20y saman við 25y.

$$5y+600=690$$

Dragðu 600 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5y=90$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$y=18$$

Skiptu 18 út fyrir y í x=-y+30. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-18+30$$

Leggðu 30 saman við -18.

$$x=12$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=12,y=18$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+y=30,20x+25y=690$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\690\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\690\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\690\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\690\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{25-20}&-\frac{1}{25-20}\\-\frac{20}{25-20}&\frac{1}{25-20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\690\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&-\frac{1}{5}\\-4&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\690\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 30-\frac{1}{5}\times 690\\-4\times 30+\frac{1}{5}\times 690\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\18\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=12,y=18$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+y=30,20x+25y=690$$

Til að gera x og 20x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 20 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$20x+20y=20\times 30,20x+25y=690$$

Einfaldaðu.

$$20x+20y=600,20x+25y=690$$

Dragðu 20x+25y=690 frá 20x+20y=600 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$20x-20x+20y-25y=600-690$$

Leggðu 20x saman við -20x. Liðirnir 20x og -20x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$20y-25y=600-690$$

Leggðu 20y saman við -25y.

$$-5y=600-690$$

Leggðu 600 saman við -690.

$$-5y=-90$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$y=18$$

Skiptu 18 út fyrir y í 20x+25y=690. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$20x+25\times 18=690$$

Margfaldaðu 25 sinnum 18.

$$20x+450=690$$

Dragðu 450 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$20x=240$$

Deildu báðum hliðum með 20.

$$x=12$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=12,y=18$$